Propiedades homotópicas de los complejos de -subgrupos
En esta tesis se investigan las propiedades homotópicas de los posets de p-subgrupos de un grupo finito. Particularmente estudiamos los siguientes problemas: la conjetura de Quillen que relaciona la contractibilidad de estos posets con la existencia de p-subgrupos normales no triviales, la conjetura...
Guardado en:
| Autor principal: | |
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| Formato: | Tesis Doctoral |
| Lenguaje: | Español |
| Publicado: |
2019
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| Materias: | |
| Acceso en línea: | https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n6890_Piterman |
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Universidad de Buenos Aires |
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P-SUBGRUPOS ESPACIOS FINITOS CLASIFICACION DE GRUPOS SIMPLES SISTEMAS DE FUSION CONJETURA DE QUILLEN P-SUBGROUPS FINITE SPACES CLASSIFICATION OF FINITE SIMPLE GROUPS FUSION SYSTEMS QUILLEN'S CONJECTURE Piterman, Kevin Iván Propiedades homotópicas de los complejos de -subgrupos |
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P-SUBGRUPOS ESPACIOS FINITOS CLASIFICACION DE GRUPOS SIMPLES SISTEMAS DE FUSION CONJETURA DE QUILLEN P-SUBGROUPS FINITE SPACES CLASSIFICATION OF FINITE SIMPLE GROUPS FUSION SYSTEMS QUILLEN'S CONJECTURE |
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En esta tesis se investigan las propiedades homotópicas de los posets de p-subgrupos de un grupo finito. Particularmente estudiamos los siguientes problemas: la conjetura de Quillen que relaciona la contractibilidad de estos posets con la existencia de p-subgrupos normales no triviales, la conjetura de Webb sobre los complejos (y posets) de órbitas, y el grupo fundamental de estos posets. Los métodos desarrollados en este trabajo combinan herramientas de la teoría de grupos finitos, la clasificación de grupos simples y sistemas de fusión, con herramientas topológicas y combinatorias. A principios de los 70, D. Quillen relacionó la cohomología equivariante módulo p de los G-espacios con los p-subgrupos elementales abelianos de G. El poset Sp(G) de p-subgrupos no triviales de G fue introducido luego por K. Brown para estudiar la característica de Euler de grupos (no necesariamente finitos), que codifica la presencia de torsión. Unos años más tarde, Quillen introdujo el poset Ap(G) de p-subgrupos elementales abelianos no triviales de un grupo finito G y estudió las propiedades homotópicas de su complejo de orden asociado K(Ap(G)) en relación con las propiedades algebraicas p-locales de G. Así, Quillen probó que K(Ap(G)) y K(Sp(G)) son homotópicamente equivalentes y que si G posee un p-subgrupo normal no trivial entonces estos complejos son contráctiles. La vuelta a esto último es la bien conocida conjetura de Quillen, que actualmente permanece abierta. El resultado más avanzado en esta dirección se debe a M. Aschbacher y S.D. Smith, quienes establecieron la conjetura si p > 5 y los grupos no poseen ciertas componentes unitarias. En esta tesis adoptamos el punto de vista de R.E. Stong de tratar a los posets Ap(G) y Sp(G) como espacios topológicos finitos. Con esta topología intrínseca, estos posets no son homotópicamente equivalentes y la conjetura de Quillen se puede reformular diciendo que si Sp(G) es homotópicamente trivial como espacio finito entonces es contráctil. En general, hay espacios finitos homotópicamente triviales pero no contráctiles (el teorema de Whitehead no es válido en espacios finitos). Respondimos a una pregunta de Stong mostrando que Ap(G) puede ser homotópicamente trivial pero no contráctil y describimos la contractibilidad del espacio finito Ap(G) en términos puramente algebraicos. En este contexto estudiamos la conjetura de P. Webb que afirma que, en término de espacios finitos, los posets Ap(G)'/G y Sp(G)'/G son homotópicamente triviales. La conjetura original de Webb fue probada primero por P. Symonds. En general Sp(G)'/G puede no ser contráctil como espacio finito, pero Ap(G)'/G resultó ser contráctil en todos los ejemplos que calculamos, y conjeturamos que esto debe valer siempre (llamamos a esto la versión fuerte de la conjetura de Webb). En la tesis mostramos la validez de la versión fuerte de la conjetura en diversos casos, utilizando para esto herramientas de sistemas de fusión. El grupo fundamental de los posets de p-subgrupos fue estudiado por varios matemáticos en las últimas tres décadas. Hasta el momento los trabajos más relevantes son los de M. Aschbacher, quien probó condiciones algebraicas necesarias y suficientes para que Ap(G) sea simplemente conexo, módulo una conjetura sobre la cual hay considerable evidencia, y los trabajos de Ksontini quien investigó el grupo fundamental de estos posets cuando el grupo G es un grupo simétrico. En todos los casos estudiados los grupos resultaban siempre libres. En esta tesis probamos que el grupo fundamental de estos complejos es libre en casi todos los casos. En particular vimos que es libre para ciertas extensiones de grupos simples y para todos los grupos resolubles. En general, asumiendo la conjetura de Aschbacher, mostramos que π1(Ap(G)) ≅ π1(Ap(SG)) ∗F, donde F es un grupo libre, SG es un cociente particular de G y π1(Ap(SG)) es libre salvo quizás si SG es casi simple. Además, vimos que π1(A3(A10)) no es libre (acá A10 es el grupo alterno en 10 letras), mostrando que la obstrucción a que los complejos de p-subgrupos sean homotópicos a bouquet de esferas puede aparecer también en el π1. Este es el primer ejemplo en la literatura de un poset de p-subgrupos con grupo fundamental no libre. Por último, nos centramos en el estudio de la conjetura de Quillen. Demostramos que ésta es cierta si K(Sp(G)) admite un subcomplejo invariante de dimensión 2 y homotópicamente equivalente a él, probando así nuevos casos de la conjetura que no eran sabidos hasta el momento. También mostramos que la conjetura se puede estudiar bajo la suposición Op'(G) = 1 (el subgrupo normal de G más grande de orden coprimo con p), extendiendo varios de los resultados conocidos de Aschbacher y Smith a todo primo p. Esto nos permite concluir que la conjetura es cierta si K(Ap(G)) tiene dimensión 3. |
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todo:tesis_n6890_Piterman2023-10-03T13:13:57Z Propiedades homotópicas de los complejos de -subgrupos Homotopy properties of the -subgroup complexes Piterman, Kevin Iván P-SUBGRUPOS ESPACIOS FINITOS CLASIFICACION DE GRUPOS SIMPLES SISTEMAS DE FUSION CONJETURA DE QUILLEN P-SUBGROUPS FINITE SPACES CLASSIFICATION OF FINITE SIMPLE GROUPS FUSION SYSTEMS QUILLEN'S CONJECTURE En esta tesis se investigan las propiedades homotópicas de los posets de p-subgrupos de un grupo finito. Particularmente estudiamos los siguientes problemas: la conjetura de Quillen que relaciona la contractibilidad de estos posets con la existencia de p-subgrupos normales no triviales, la conjetura de Webb sobre los complejos (y posets) de órbitas, y el grupo fundamental de estos posets. Los métodos desarrollados en este trabajo combinan herramientas de la teoría de grupos finitos, la clasificación de grupos simples y sistemas de fusión, con herramientas topológicas y combinatorias. A principios de los 70, D. Quillen relacionó la cohomología equivariante módulo p de los G-espacios con los p-subgrupos elementales abelianos de G. El poset Sp(G) de p-subgrupos no triviales de G fue introducido luego por K. Brown para estudiar la característica de Euler de grupos (no necesariamente finitos), que codifica la presencia de torsión. Unos años más tarde, Quillen introdujo el poset Ap(G) de p-subgrupos elementales abelianos no triviales de un grupo finito G y estudió las propiedades homotópicas de su complejo de orden asociado K(Ap(G)) en relación con las propiedades algebraicas p-locales de G. Así, Quillen probó que K(Ap(G)) y K(Sp(G)) son homotópicamente equivalentes y que si G posee un p-subgrupo normal no trivial entonces estos complejos son contráctiles. La vuelta a esto último es la bien conocida conjetura de Quillen, que actualmente permanece abierta. El resultado más avanzado en esta dirección se debe a M. Aschbacher y S.D. Smith, quienes establecieron la conjetura si p > 5 y los grupos no poseen ciertas componentes unitarias. En esta tesis adoptamos el punto de vista de R.E. Stong de tratar a los posets Ap(G) y Sp(G) como espacios topológicos finitos. Con esta topología intrínseca, estos posets no son homotópicamente equivalentes y la conjetura de Quillen se puede reformular diciendo que si Sp(G) es homotópicamente trivial como espacio finito entonces es contráctil. En general, hay espacios finitos homotópicamente triviales pero no contráctiles (el teorema de Whitehead no es válido en espacios finitos). Respondimos a una pregunta de Stong mostrando que Ap(G) puede ser homotópicamente trivial pero no contráctil y describimos la contractibilidad del espacio finito Ap(G) en términos puramente algebraicos. En este contexto estudiamos la conjetura de P. Webb que afirma que, en término de espacios finitos, los posets Ap(G)'/G y Sp(G)'/G son homotópicamente triviales. La conjetura original de Webb fue probada primero por P. Symonds. En general Sp(G)'/G puede no ser contráctil como espacio finito, pero Ap(G)'/G resultó ser contráctil en todos los ejemplos que calculamos, y conjeturamos que esto debe valer siempre (llamamos a esto la versión fuerte de la conjetura de Webb). En la tesis mostramos la validez de la versión fuerte de la conjetura en diversos casos, utilizando para esto herramientas de sistemas de fusión. El grupo fundamental de los posets de p-subgrupos fue estudiado por varios matemáticos en las últimas tres décadas. Hasta el momento los trabajos más relevantes son los de M. Aschbacher, quien probó condiciones algebraicas necesarias y suficientes para que Ap(G) sea simplemente conexo, módulo una conjetura sobre la cual hay considerable evidencia, y los trabajos de Ksontini quien investigó el grupo fundamental de estos posets cuando el grupo G es un grupo simétrico. En todos los casos estudiados los grupos resultaban siempre libres. En esta tesis probamos que el grupo fundamental de estos complejos es libre en casi todos los casos. En particular vimos que es libre para ciertas extensiones de grupos simples y para todos los grupos resolubles. En general, asumiendo la conjetura de Aschbacher, mostramos que π1(Ap(G)) ≅ π1(Ap(SG)) ∗F, donde F es un grupo libre, SG es un cociente particular de G y π1(Ap(SG)) es libre salvo quizás si SG es casi simple. Además, vimos que π1(A3(A10)) no es libre (acá A10 es el grupo alterno en 10 letras), mostrando que la obstrucción a que los complejos de p-subgrupos sean homotópicos a bouquet de esferas puede aparecer también en el π1. Este es el primer ejemplo en la literatura de un poset de p-subgrupos con grupo fundamental no libre. Por último, nos centramos en el estudio de la conjetura de Quillen. Demostramos que ésta es cierta si K(Sp(G)) admite un subcomplejo invariante de dimensión 2 y homotópicamente equivalente a él, probando así nuevos casos de la conjetura que no eran sabidos hasta el momento. También mostramos que la conjetura se puede estudiar bajo la suposición Op'(G) = 1 (el subgrupo normal de G más grande de orden coprimo con p), extendiendo varios de los resultados conocidos de Aschbacher y Smith a todo primo p. Esto nos permite concluir que la conjetura es cierta si K(Ap(G)) tiene dimensión 3. In this thesis we investigate the homotopy properties of the p-subgroup posets of a finite group. Particularly, we study the following problems: Quillen’s conjecture, which relates the contractibility of these posets with the existence of nontrivial normal p-subgroups, Webb’s conjecture, on the orbit complexes (and posets), and the fundamental group of these posets. The methods developed in this work combine tools of the theory of finite groups, the classification of finite simple groups and fusion systems, with topological and combinatorial techniques. At the beginning of the seventies, D. Quillen related the equivariant cohomology modulo p of G-spaces with the elementary abelian p-subgroups of G. The poset Sp(G) of nontrivial p-subgroups of G was introduced by K. Brown to study the Euler characteristic of groups (not necessary finite), which encodes the presence of torsion. Some years later, Quillen introduced the poset Ap(G) of nontrivial elementary abelian p-subgroups of a finite group G and studied the homotopy properties of its order complex K(Ap(G)) in relation with the p-local algebraic properties of G. Quillen proved that K(Ap(G)) and K(Sp(G)) are homotopy equivalent and that if G has a nontrivial normal p-subgroup then these complexes are contractible. The reciprocal to this last statement is the well-known Quillen’s conjecture, which remains open. The most advanced result on this direction is due to M. Aschbacher and S.D. Smith, who established the conjecture if p > 5 and the groups do not have certain unitary components. In this dissertation we adopt the viewpoint of R.E. Stong of handling the posets Ap(G) and Sp(G) as finite topological spaces. With this intrinsic topology, these posets are not homotopy equivalent and Quillen’s conjecture can be reformulated by saying that if Sp(G) is a homotopically trivial finite space then it is contractible. In general, there are homotopically trivial finite spaces which are not contractible (Whitehead’s theorem is no longer true in this context). We answer a question raised by Stong by showing that Ap(G) may be homotopically trivial but non-contractible, and describe the contractibility of the finite space Ap(G) in purely algebraic terms. In this context we study Webb’s conjecture which states that, in terms of finite spaces, the posets Ap(G)'/G and Sp(G)'/G are homotopically trivial. The original Webb’s conjecture was proved first by P. Symonds. In general Sp(G)'/G may be non-contractible as a finite space, but Ap(G)'/G turned out to be contractible in all the examples that we computed, and we conjecture that this should always hold (we call this the strong version of Webb’s conjecture). We prove some cases of the strong version of the conjecture by using tools of fusion systems. The fundamental group of the posets of p-subgroups was studied by several mathematicians in the last decades. So far, the most relevant works are those of M. Aschbacher, who proved necessary and sufficient algebraic conditions for Ap(G) to be simply connected, modulo a conjecture for which there is considerable evidence, and the works of Ksontini who investigated the fundamental group of these posets when G is the symmetric group. In all the cases studied, the groups turned out to be free. In this thesis we show that the fundamental group of these complexes is free in almost all cases. In particular we prove that it is free for certain extensions of simple groups and for any solvable group. In general, assuming Aschbacher’s conjecture, we show that π1(Ap(G)) ≅ π1(Ap(SG)) ∗ F, where F is a free group, SG is a particular quotient of G and π1(Ap(SG)) is free except perhaps if SG is almost simple. Moreover, we prove that π1(A3(A10)) is non-free (here, A10 is the alternating group in 10 letters), showing that the obstruction for the p-subgroup complexes to be homotopy equivalent to a bouquet of spheres can also rely on the π1. This is the first example in the literature of a p-subgroup poset with non-free fundamental group. Finally, we focus on the study of Quillen’s conjecture. We prove that the conjecture holds if K(Sp(G)) admits an invariant 2-dimensional homotopy equivalent subcomplex, showing new cases of the conjecture. We also prove that the conjecture can be studied under the supposition Op'(G) = 1 (the largest normal subgroup of G of order prime to p), extending some known results of Aschbacher and Smith to every prime p. This allows us to conclude that the conjecture holds if K(Ap(G)) has dimension 3. Fil: Piterman, Kevin Iván. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina. 2019 Tesis Doctoral PDF Español info:eu-repo/semantics/openAccess https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/ar https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n6890_Piterman |