Métodos numéricos para problemas no locales de evolución

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El objetivo de este trabajo es estudiar aproximaciones numéricas para problemas de evolución de la forma C∂αtu + (-Δ)su = f in Ω *(0,T), donde (-Δ)s representa el operador Laplaciano fraccionario en su forma integral y C∂αtu(x,t) denota la derivada de Caputo. Para ser más precisos, (-Δ)su(x)= C(n,s)...

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Detalles Bibliográficos
Autor principal: Mastroberti Bersetche, Francisco Vicente
Formato: Tesis Doctoral
Lenguaje:Inglés
Publicado: 2019
Materias:
LAPLACIANO FRACCIONARIO
DERIVADA DE CAPUTO
METODO DE ELEMENTOS FINITOS
FRACTIONAL LAPLACIAN
CAPUTO DERIVATIVE
FINITE ELEMENT METHOD
Acceso en línea:https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n6618_MastrobertiBersetche
Aporte de:
Biblioteca Digital - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales (UBA) de Universidad de Buenos Aires
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spelling todo:tesis_n6618_MastrobertiBersetche2023-10-03T13:10:51Z Métodos numéricos para problemas no locales de evolución Numerical methods for non-local evolution problems Mastroberti Bersetche, Francisco Vicente LAPLACIANO FRACCIONARIO DERIVADA DE CAPUTO METODO DE ELEMENTOS FINITOS FRACTIONAL LAPLACIAN CAPUTO DERIVATIVE FINITE ELEMENT METHOD El objetivo de este trabajo es estudiar aproximaciones numéricas para problemas de evolución de la forma C∂αtu + (-Δ)su = f in Ω *(0,T), donde (-Δ)s representa el operador Laplaciano fraccionario en su forma integral y C∂αtu(x,t) denota la derivada de Caputo. Para ser más precisos, (-Δ)su(x)= C(n,s) p.v. ∫ℝn [(u(x)-u(y))/(|x-y|^n+2s)] dy, y C∂αtu(x,T)= { [1/r(k-α)]∫t0[1/(t-r)^α-k+1]∂ku/∂tk(x,r) dr if k-1<α<k, k∈ℕ, ∂ku/∂tk(x,t) if α=k∈ℕ. Estudiamos existencia, unicidad y regularidad de las soluciones en el contexto lineal(es decir, f = f(x; t)). Los casos tratados incluyen contrapartes fraccionarias de los modelos de difusión estándar y de ondas. Elementos finitos lineales se utilizan para la variable espacial y técnicas de cuadratura de convolución son usadas para tratar el operador fraccionario en la variable temporal. Estimaciones del error, uniformes en los parámetros de discretización para valores de t lejos de cero, son proporcionadas. Estos resultados son extendidos al caso semilineal con f(u) = u-u^3, siendo este el término no lineal que aparece en las ecuaciones clásicas de Allen-Cahn, utilizadas para modelar la separación de fases para aleaciones binarias. Adicionalmente, el comportamiento asintótico de las soluciones para s→0 es estudiado en este contexto particular. Detalles de implementación, particularmente para el método de elementos finitos, en el cual se ven involucradas matrices de rigidez fraccionarias no esparsas y cuadraturas numéricas para núcleos singulares, son cuidadosamente expuestos. The aim of this work is to study numerical approximations for evolution problems of the form C∂αtu + (-Δ)su = f in Ω *(0,T), where (-Δ)s stands for the fractional Laplacian operator in its integral form and C∂αtu(x,t)represents the Caputo derivative. To be more precise, (-Δ)su(x)= C(n,s) p.v. ∫ℝn [(u(x)-u(y))/(|x-y|^n+2s)] dy, and C∂αtu(x,T)= { [1/r(k-α)]∫t0[1/(t-r)^α-k+1]∂ku/∂tk(x,r) dr if k-1<α<k, k∈ℕ, ∂ku/∂tk(x,t) if α=k∈ℕ. We deal with existence, uniqueness and regularity of solutions in the linear context(i.e. f = f(x,t)). The cases under study include fractional counterparts of the standard diffusion and wave models. Linear finite elements are used for the spatial variable and convolution quadrature techniques for handling the time fractional operator. Error bounds, uniform in the discretization parameters for values of t away from zero, are given. These results are extended to the semi-linear case with f(u) = u-u^3 appearing in the classical Allen-Cahn equations modeling phase separation for binary alloys. Additionally, the asymptotic behaviour of the solutions for s→0 is studied in this particular context. Implementation details, particularly for the finite element method involving full fractional stiffness matrices and numerical quadratures for singular kernels, are carefully documented. Fil: Mastroberti Bersetche, Francisco Vicente. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina. 2019 Tesis Doctoral PDF Inglés info:eu-repo/semantics/openAccess https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/ar https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n6618_MastrobertiBersetche
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