Problemas de frontera libre en espacios de Orlicz
En esta tesis, se estudia el siguiente problema de frontera libre: Para un dominio Ω de RN, hallar u ≥ 0 tal que (B) { Lu := div (g([∇u]).∇u/[∇u])=0 en {u>0}∩ Ω ; [∇u]=λ* en ∂{u>0}∩ Ω } Se denomina Problema de Frontera Libre ya que no se conoce a priori la ubicación de ∂{u>0}. La segunda...
Guardado en:
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| Lenguaje: | Español |
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Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
2006
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PROBLEMAS DE FRONTERA LIBRE PROBLEMAS DE MINIMIZACION ESPACIOS DE ORLICZ REGULARIDAD OPTIMIZACION PERTURBACION SINGULAR FREE BOUNDARY PROBLEMS MINIMIZATION PROBLEMS ORLICZ SPACES REGULARITY OPTIMIZATION SINGULAR PERTURBATION |
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PROBLEMAS DE FRONTERA LIBRE PROBLEMAS DE MINIMIZACION ESPACIOS DE ORLICZ REGULARIDAD OPTIMIZACION PERTURBACION SINGULAR FREE BOUNDARY PROBLEMS MINIMIZATION PROBLEMS ORLICZ SPACES REGULARITY OPTIMIZATION SINGULAR PERTURBATION Martínez, Sandra R. Problemas de frontera libre en espacios de Orlicz |
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PROBLEMAS DE FRONTERA LIBRE PROBLEMAS DE MINIMIZACION ESPACIOS DE ORLICZ REGULARIDAD OPTIMIZACION PERTURBACION SINGULAR FREE BOUNDARY PROBLEMS MINIMIZATION PROBLEMS ORLICZ SPACES REGULARITY OPTIMIZATION SINGULAR PERTURBATION |
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En esta tesis, se estudia el siguiente problema de frontera libre: Para un dominio Ω de RN, hallar u ≥ 0 tal que (B) { Lu := div (g([∇u]).∇u/[∇u])=0 en {u>0}∩ Ω ; [∇u]=λ* en ∂{u>0}∩ Ω } Se denomina Problema de Frontera Libre ya que no se conoce a priori la ubicación de ∂{u>0}. La segunda ecuación en (B) se conoce como “condición de frontera libre". Este problema aparece en numerosas aplicaciones. En este trabajo discutiremos tres de ellas. Primero, estudiamos el problema de “chorros" (jets). Para un dominio suave y acotado en RN, consideramos primero el siguiente problema, minimizar el funcional,J (v) = ∫_Ω G([∇u]) dx + λ {u>0} con v-φ0 ∈ W_0 1.G(Ω) para una φ0 ≥0, φ0 ∈ L ∞(Ω) y ∫_Ω G([∇u]) dx <∞. W1.G(Ω) es la clase de funciones débilmente diferenciables con ∫_Ω G([u]) dx <∞ y ∫_Ω G([∇u]) dx <∞. Aquí denominamos G´ = g. El segundo, es un problema de diseño óptimo. Más precisamente, minimizar J (v) = ∫_Ω G([u]) dx con v-φ0 ∈ W_0 1.G(Ω) y tal que [{v>0}] =α∈(0,[Ω]), para una función acotada, no negativa y no idénticamente nula φ0 tal que ∫_Ω G([u]) dx <∞. Como tercera aplicación estudiamos un problema de perturbación singular de interés en combustión. Para ε> 0, tomamos uε una solución débil de Luε = βε(uε) con uε≥ 0: Aquí β∈Lip(R), es positiva en (0; 1), cero fuera de [0; 1] y tal que ∫_0 1 β(s)ds=M y βε(s)=1/ε β(s/ε). En todos estos problemas, imponemos condiciones sobre la función g de forma tal que se puede comportar distinto en 0 y en infinito. Más precisamente, pedimos que existan constantes δ; g0 > 0 tales que,0 < δ ≤tg´(t)/g(t)≤g0 ∀t >0. Es fácil ver que, el conjunto de funciones que cumplen nuestras condiciones incluye funciones no homogéneas. Estas condiciones fueron introducidas por Lieber-man en [22] y generalizan las llamadas condiciones naturales de Ladyzhenskaya y Ural'tseva (ver [18]). En dicho trabajo el autor estudia la regularidad de soluciones de Lu = f, donde f es una función acotada. Para el primer problema, probamos las siguientes propiedades de los minimizantes: Primero la existencia, luego la continuidad HÄolder y con esto probamos la continuidad Lipschitz uniforme (i.e: el [∇u] está acotado en cada compacto de Ω por una constante independiente del minimizante u). Además tenemos que los minimizantes satisfacen, en un sentido débil, el problema de frontera libre (B), con λ * una constante tal que g(λ *)λ * -G(λ *) = λ *. Además probamos una cierta propiedad de nodegeneracion de los minimizantes en cualquier punto de la frontera libre, y finalmente obtenemos que la misma tiene medida de Hausdorff N -1 dimensional finita; por lo tanto {u > 0} ∩ Ω tiene perímetro localmente finito en Ω. También definimos dos nociones distintas de solución débil (en sentido distribucional y en sentido puntual) del problema (B) y probamos, para las primeras, que estas soluciones tienen casi todas las mismas propiedades que tienen los minimizantes. Probamos la regularidad de la frontera libre de las soluciones débiles de (B), es decir que ∂red {u > 0} ∩ Ω es una superficie C1α y que en el caso de los minimizantes (y para las soluciones débiles en sentido distribucional) el complemento tiene medida de Hausdorff N-1 dimensional nula. Para ello tomamos ideas del trabajo pionero [4]. También probamos, para una subclase de funciones g, y cuando N = 2, que toda la frontera libre es regular. Para trabajar con este problema, debimos lidiar con la degeneración del problema y con la falta de homogeneidad al mismo tiempo. En el segundo problema, probamos la regularidad de los minimizantes estudiando un problema de penalización asociado a este. Probamos que los minimizantes del problema penalizado son soluciones débiles de (B) en sentido distribucional (de tipo I). Los resultados de regularidad para el problema de penalización son consecuencia de los resultados que tenemos para soluciones débiles de (B). La ventaja del método es que no es necesario pasar al límite para volver al problema original. Esto es, si el parámetro en el problema de perturbación es suficientemente chico, tenemos que los minimizantes son soluciones del problema de optimización. Nuevamente, para tratar este problema, debimos lidiar con la no linealidad y la no homogeneidad del operador. En el tercer problema, probamos que bajo ciertas hipótesis sobre las soluciones, una función límite es una solución débil en el sentido puntual del problema (B) (de tipo II). Por lo tanto, todos los resultados de regularidad de soluciones de tipo II se aplican a los límites de soluciones del problema de perturbación singular. |
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tesis:tesis_n4056_Martinez2023-10-02T19:55:41Z Problemas de frontera libre en espacios de Orlicz Free boundary problems in Orlicz spaces Martínez, Sandra R. Wolanski, Noemí I. PROBLEMAS DE FRONTERA LIBRE PROBLEMAS DE MINIMIZACION ESPACIOS DE ORLICZ REGULARIDAD OPTIMIZACION PERTURBACION SINGULAR FREE BOUNDARY PROBLEMS MINIMIZATION PROBLEMS ORLICZ SPACES REGULARITY OPTIMIZATION SINGULAR PERTURBATION En esta tesis, se estudia el siguiente problema de frontera libre: Para un dominio Ω de RN, hallar u ≥ 0 tal que (B) { Lu := div (g([∇u]).∇u/[∇u])=0 en {u>0}∩ Ω ; [∇u]=λ* en ∂{u>0}∩ Ω } Se denomina Problema de Frontera Libre ya que no se conoce a priori la ubicación de ∂{u>0}. La segunda ecuación en (B) se conoce como “condición de frontera libre". Este problema aparece en numerosas aplicaciones. En este trabajo discutiremos tres de ellas. Primero, estudiamos el problema de “chorros" (jets). Para un dominio suave y acotado en RN, consideramos primero el siguiente problema, minimizar el funcional,J (v) = ∫_Ω G([∇u]) dx + λ {u>0} con v-φ0 ∈ W_0 1.G(Ω) para una φ0 ≥0, φ0 ∈ L ∞(Ω) y ∫_Ω G([∇u]) dx <∞. W1.G(Ω) es la clase de funciones débilmente diferenciables con ∫_Ω G([u]) dx <∞ y ∫_Ω G([∇u]) dx <∞. Aquí denominamos G´ = g. El segundo, es un problema de diseño óptimo. Más precisamente, minimizar J (v) = ∫_Ω G([u]) dx con v-φ0 ∈ W_0 1.G(Ω) y tal que [{v>0}] =α∈(0,[Ω]), para una función acotada, no negativa y no idénticamente nula φ0 tal que ∫_Ω G([u]) dx <∞. Como tercera aplicación estudiamos un problema de perturbación singular de interés en combustión. Para ε> 0, tomamos uε una solución débil de Luε = βε(uε) con uε≥ 0: Aquí β∈Lip(R), es positiva en (0; 1), cero fuera de [0; 1] y tal que ∫_0 1 β(s)ds=M y βε(s)=1/ε β(s/ε). En todos estos problemas, imponemos condiciones sobre la función g de forma tal que se puede comportar distinto en 0 y en infinito. Más precisamente, pedimos que existan constantes δ; g0 > 0 tales que,0 < δ ≤tg´(t)/g(t)≤g0 ∀t >0. Es fácil ver que, el conjunto de funciones que cumplen nuestras condiciones incluye funciones no homogéneas. Estas condiciones fueron introducidas por Lieber-man en [22] y generalizan las llamadas condiciones naturales de Ladyzhenskaya y Ural'tseva (ver [18]). En dicho trabajo el autor estudia la regularidad de soluciones de Lu = f, donde f es una función acotada. Para el primer problema, probamos las siguientes propiedades de los minimizantes: Primero la existencia, luego la continuidad HÄolder y con esto probamos la continuidad Lipschitz uniforme (i.e: el [∇u] está acotado en cada compacto de Ω por una constante independiente del minimizante u). Además tenemos que los minimizantes satisfacen, en un sentido débil, el problema de frontera libre (B), con λ * una constante tal que g(λ *)λ * -G(λ *) = λ *. Además probamos una cierta propiedad de nodegeneracion de los minimizantes en cualquier punto de la frontera libre, y finalmente obtenemos que la misma tiene medida de Hausdorff N -1 dimensional finita; por lo tanto {u > 0} ∩ Ω tiene perímetro localmente finito en Ω. También definimos dos nociones distintas de solución débil (en sentido distribucional y en sentido puntual) del problema (B) y probamos, para las primeras, que estas soluciones tienen casi todas las mismas propiedades que tienen los minimizantes. Probamos la regularidad de la frontera libre de las soluciones débiles de (B), es decir que ∂red {u > 0} ∩ Ω es una superficie C1α y que en el caso de los minimizantes (y para las soluciones débiles en sentido distribucional) el complemento tiene medida de Hausdorff N-1 dimensional nula. Para ello tomamos ideas del trabajo pionero [4]. También probamos, para una subclase de funciones g, y cuando N = 2, que toda la frontera libre es regular. Para trabajar con este problema, debimos lidiar con la degeneración del problema y con la falta de homogeneidad al mismo tiempo. En el segundo problema, probamos la regularidad de los minimizantes estudiando un problema de penalización asociado a este. Probamos que los minimizantes del problema penalizado son soluciones débiles de (B) en sentido distribucional (de tipo I). Los resultados de regularidad para el problema de penalización son consecuencia de los resultados que tenemos para soluciones débiles de (B). La ventaja del método es que no es necesario pasar al límite para volver al problema original. Esto es, si el parámetro en el problema de perturbación es suficientemente chico, tenemos que los minimizantes son soluciones del problema de optimización. Nuevamente, para tratar este problema, debimos lidiar con la no linealidad y la no homogeneidad del operador. En el tercer problema, probamos que bajo ciertas hipótesis sobre las soluciones, una función límite es una solución débil en el sentido puntual del problema (B) (de tipo II). Por lo tanto, todos los resultados de regularidad de soluciones de tipo II se aplican a los límites de soluciones del problema de perturbación singular. In this thesis, we study the following free boundary problem: For a domain Ω in RN find u ≥ 0 such that (B) { Lu := div (g([∇u]).∇u/[∇u])=0 en {u>0}∩ Ω ; [∇u]=λ* en ∂{u>0}∩ Ω } We call it a Free Boundary Problem because we do not know a priori the location of ∂{u>0}. The second equation in (B) is known as the \\free boundary condition". This problem appears in many applications. In this thesis, we will discuss three of them. First, we study the problem of jets. For a bounded smooth domain in RN, we consider the following problem: Minimize the functional,J (v) = ∫_Ω G([∇u]) dx + λ {u>0} with v-φ0 ∈ W_0 1.G(Ω) for a function φ0 ≥0, φ0 ∈ L ∞(Ω) with ∫_Ω G([∇u]) dx <∞. W1.G(Ω) is the class of weakly differentiable functions with ∫_Ω G([u]) dx <∞ and ∫_Ω G([∇u]) dx <∞. Here we denote G´ = g. The second one, is a shape optimization problem. More precisely, to minimize J (v) = ∫_Ω G([u]) dx with v-φ0 ∈ W_0 1.G(Ω) and such that [{v>0}] =α∈(0,[Ω]) fixed ,for a bounded nonnegative function φ0 and not identically zero such that ∫_Ω G([u]) dx <∞. As a third application we study a singular perturbation problem, of interest in combustion. For ε> 0, take uε a weak solution of Luε = βε(uε) with uε≥ 0:Here β∈Lip(R), is positive in (0; 1), zero outside [0; 1] and is such that ∫_0 1 β(s)ds=M and βε(s)=1/ε β(s/ε). In all these problems we impose conditions on the function g such that allow to have different behaviors at 0 and at in¯nity. More precisely, we assume that there exist constants δ; g0 > 0 such that,0 < δ ≤tg´(t)/g(t)≤g0 ∀t >0. It is easy to see that the set of functions that satisfy these conditions includes non homogeneous functions. These conditions were introduced by Lieberman in [22] and generalize the so called natural conditions of Ladyzhenskaya and Ural'tseva (see [18]). In that paper the author studies the regularity of solutions of Lu = f, where f is a bounded function. For the first problem, we prove the following properties of the minimizers: First the existence, then the HÄolder continuity and finally we prove the uniform Lipschitz continuity (i.e: the[∇u] is bounded in any compact subset of Ω by a constant independent of the minimizer u). Moreover, we have that the minimizers satisfy, in a weak sense, the free boundary problem (B) with ¸λ * a constant such that g(λ *)λ * -G(λ *) = λ *. Moreover, we prove some properties of non-degeneracy of the the minimizers at every point of the free boundary. Finally, we obtain that the free boundary has finite N - 1 dimensional Hausdorff measure. Therefore,{u > 0} ∩ Ω has finite perimeter locally in Ω. We also de¯ne two different notions of weak solutions of the problem (B) (in a distributional sense and in a pointwise sense). We prove, for the first ones, that they have almost all the properties that minimizers have. Then, we prove the regularity of the free boundary of weak solutions of (B). That is, ∂red {u > 0} ∩ Ω is aC1α surface and, in the case of minimizers (and for the weak solutions in the distributional sense), the remainder has zero N-1 dimensional Hausdorff measure. To this end, we take ideas from the paper [4]. We also prove, for a subclass of functions g, and when N = 2, that the whole free boundary is regular. In order to get our results, we have to deal with the degeneracy of the problem and with the loss of homogeneity at the same time. In the second problem, we prove the regularity of minimizers by studying an associated penalization problem. We prove that the minimizers of the penalized problem are weak solutions of (B) in the distributional sense (of type I). The regularity results for the penalized problem, are a consequence of the results that we have for weak solutions of (B). The advantage of this method is that in order to return to the original problem, it is not necessary to pass to the limit. That is, if the penalization parameter is su±ciently small, then we have that the minimizers are solutions of the optimization problem. Again, to treat this problem, we had to deal with the degeneracy and the non homogeneity of the operator. In the third problem we prove that, under some hypothesis on the solutions, a limiting function is a weak solution in the pontwise sense of the problem (B) (of type II). Therefore, all the regularity results of solutions of type II can be applied to the limit of solutions of the singular perturbation problem. Fil: Martínez, Sandra R.. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales 2006 info:eu-repo/semantics/doctoralThesis info:ar-repo/semantics/tesis doctoral info:eu-repo/semantics/publishedVersion application/pdf spa info:eu-repo/semantics/openAccess https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/ar https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n4056_Martinez |