Un estudio de la evolución del pensamiento matemático : el ejemplo de la conceptualización del conjunto de los números reales y de la noción de completitud en la enseñanza universitaria
En esta tesis, enmarcada dentro del campo de Didáctica de la Matemática, se estudia laevolución en la conceptualización del conjunto de los números reales por parte de los estudiantes denivel universitario. Se toma como referencia las carreras de Licenciatura y Profesorado en Matemáticade la Univers...
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| Otros Autores: | |
| Formato: | Tesis doctoral publishedVersion |
| Lenguaje: | Español |
| Publicado: |
Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
2004
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| Materias: | |
| Acceso en línea: | https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n3718_Berge |
| Aporte de: |
| Sumario: | En esta tesis, enmarcada dentro del campo de Didáctica de la Matemática, se estudia laevolución en la conceptualización del conjunto de los números reales por parte de los estudiantes denivel universitario. Se toma como referencia las carreras de Licenciatura y Profesorado en Matemáticade la Universidad de Buenos Aires. ¿Qué se quiere expresar con “el estudio de la evolución..."? Losalumnos establecen un primer contacto con los números reales temprano en su escolaridad. En unprimer momento los ven en las soluciones de problemas geométricos, como raíces cuadradas, comoraíces de polinomios, estudian sus desarrollos decimales, etcétera. Pero más adelante, al comenzar losestudios en el área del análisis matemático, cuando el conjunto de los números reales se vuelve eldominio natural de las funciones, ¿qué conocimientos tienen los alumnos acerca de las propiedades deese dominio? ¿cuáles son las propiedades que ellos reconocen de este conjunto, sobre las quedescansan los aprendizajes en análisis? Ha sido de interés focalizar este estudio en una propiedad delconjunto de los números reales central para el trabajo en esa área: la completitud. La tesis tiene seis capítulos. El primero es un estudio histórico-epistemológico del surgimientodel conjunto de los números reales. Varios investigadores en Didáctica de la Matemática han señaladola relevancia del análisis epistemológico para el análisis didáctico, sus potencialidades y sus alcances (Artigue, 1990, 1992, 1995), han analizado la relación entre epistemología, matemática y educación (Sierpinska & Lerman, 1996), han estudiado ciertos aportes específicos del conocimiento de la historiaa la práctica docente (Bkouche, 1997) y han alertado acerca de la utilización ingenua de la historia dela matemática en la enseñanza (Radford, 1997). El análisis hecho ha llevado a delinear unareconstrucción de la génesis histórica de la noción conjunto de los números reales, ligando problemasy preguntas de determinados períodos históricos con el estado de conocimientos y las herramientasdisponibles en esos momentos, y con las diferentes conceptualizaciones producidas. La manera en laque se ha jugado la correspondencia entre números y puntos de una recta en diferentes periodos de lahistoria (y más generalmente, como ha evolucionado la relación entre números y magnitudes), cómoera el trabajo de los matemáticos en temas de análisis antes de que la noción de completitud delsistema de los números reales fuera enunciada, qué condiciones hicieron necesaria la formalización deesta noción, cuáles fueron las distintas respuestas que se dieron a este problema y cómo se llega a lasformulaciones actuales, son las preguntas que guían este capítulo. Para aportar respuestas, se examinandiferentes momentos particularmente significativos de la historia matemática: el período euclidiano,el intermediario árabe y la Europa Medieval, el desarrollo del cálculo, los comienzos del siglo XIX yla aritmetización del análisis, el fin del mismo siglo que ve diferentes construcciones de un sistemanumérico y finalmente la axiomatización de R con los trabajos de Hilbert. En las conclusiones de estecapítulo se aborda el papel del método axiomático en matemática y en la enseñanza de lasmatemáticas, se hace una reflexión alrededor de la evolución del estatuto de una misma afirmaciónmatemática, se analiza la relación modelo matemático —objeto modelizado, que puede representarpara el trabajo matemático tanto un punto de apoyo como un obstáculo, y se analiza también laevolución de los argumentos que se consideran suficientes para validar el trabajo matemático. Coneste primer capítulo se ha buscado mostrar la complejidad de las relaciones que se han dado a lo largode la historia entre las nociones de continuidad y de completitud, y los motores principales de lasevoluciones, y dar argumentos que faciliten entender la posible existencia de varios tipos deequilibrios cognitivos y niveles de conceptualización acerca de estas nociones, cuidando no caer enuna visión ingenua de las relaciones entre ontogénesis y filogénesis. Este estudio también muestra quelos comienzos del cálculo y su desarrollo durante tres siglos se llevaron a cabo teniendo como soporteun dominio numérico cuyas propiedades no habían sido explicitadas. La explicitación de esaspropiedades supuso transitar una ruptura y una reconstrucción de la noción. La ruptura se produjo enla historia de la matemática como consecuencia de un cambio de racionalidad a partir del cual sereconoció que la base del trabajo matemático había sido empírica, y se deseó superar esa situación. Elproblema era entonces encontrar cómo expresar la propiedad de completitud. Dedekind encontró unamanera, procurando obtener para los números algo análogo a la continuidad de la recta. Para lo cualhubo de precisar —necesariamente como un axioma- en qué consistía dicha continuidad. Cantor por suparte, así como otros matemáticos de la época, expresó la completitud vía la convergencia desucesiones fundamentales, estableciendo además una correspondencia entre los números y los puntosde la recta y reconociendo el carácter axiomático de dicha correspondencia. Ese fue el sentido quetuvo, para los matemáticos del siglo XIX la construcción de un dominio numérico completo. A lolargo de la tesis se analiza el sentido que tiene para los alumnos y la organización institucionalactuales. El segundo capitulo es una puesta al día de las investigaciones didácticas hechas por otrosinvestigadores relacionadas con el tema, y el posicionamiento de la propia problemática. Los trabajoscomentados acerca del conjunto de los números reales tratan didácticamente cuestiones vinculadas a laexistencia de números irracionales, su desarrollo ilimitado y no periódico, su representación uno a unoen la recta numérica, su aparición en los cálculos de raíces, logaritmos, cálculos trigonométricos, etc. Estas cuestiones están ligadas al hecho de que con los racionales no alcanza para dar respuesta adiversos problemas que aparecen, aun tempranamente, en la escolaridad, y se requiere por lo tanto dela existencia de otros números. Otro nivel de problematización se pone de relevancia al estudiar laspropiedades de R cuando se lo ve como el dominio natural del análisis matemático. Éstas sedespliegan cuando se sale de lo estrictamente numérico y se trabaja con funciones, sucesiones, etc. y elinterés está puesto en fundamentar las afirmaciones y en caracterizar ciertos atributos que tiene Rcomo conjunto. Efectivamente, la completitud no es una propiedad que concierne a un número sino aun conjunto de números. Los trabajos analizados contemplan el primer nivel y no el segundo, que porotra parte es propio de la enseñanza a nivel superior. Más allá de los diferentes marcos teóricos ymetodológicos que han sido tomados como referencia en los trabajos, es posible reunir al menos dospuntos de consenso entre ellos. El primero es que en los alumnos de distintos niveles de escolaridadconviven concepciones contradictorias, en cuanto a la densidad, al significado de los desarrollosinfinitos, la existencia de números que verifican determinadas condiciones, la irracionalidad, laidecimalidad. Algunas de las investigaciones han mostrado que las mismas nociones funcionan bien enciertas preguntas y no en otras. El segundo es que la representación de los números en la recta, nocontribuye necesariamente a solucionar esas dificultades: muchas veces este objeto suma sus propiasdificultades, las investigaciones nos han mostrado que los alumnos conceptualizan de diferentesmaneras la recta numérica, por lo cual la referencia a sus atributos y propiedades no es un punto deapoyo seguro, y en algunos casos modifica completamente la problemática en juego. Los trabajosanalizados constituyen en cierto modo un mapa de los conocimientos didácticos previosexistentes aesta tesis alrededor de este tema, se han tomado como punto de partida para avanzar en lacaracterización de aquello que hace evolucionar las conceptualizaciones de los alumnos en relacióncon el segundo nivel de propiedades de R que se ha mencionado. El tercer capítulo consiste en el análisis de los aspectos matemáticos y cognitivos vinculados ala completitud de R. En el mismo se profundizan distintas vías matemáticas de entrada y de desarrollode esa noción, dando lugar a lo que ha sido llamado Panorama Matemático; y se separan ficticiamentelos aspectos cognitivos involucrados estructurándolos en seis ejes variables, con el objetivo demodelizar distintos estados de conceptualización de esta noción. Estos ejes vistos globalmente enconjunto con su estado inicial, han recibido el nombre de Panorama Cognitivo. Los mismos no sonexclusivos de este concepto, pueden pensarse para otros conceptos matemáticos, pero han podido serdelineados como producto del trabajo realizado sobre la completitud, especialmente del análisisepistemológico. El Panorama Cognitivo consta de seis ejes con un origen en común, como un estadoinicial o punto de partida en el cual la completitud es vista como evidente, con un apoyo fuerte en larepresentación gráfica o mental. A ese nivel la completitud no es identificada como un objetomatemático. Los seis ejes que admiten distintos estados se describen brevemente a continuación. Disponibilidad Técnica: este eje incluye los diferentes grados de dominio técnico sobre los elementosmatemáticos, a modo de ejemplo, distintos valores en este eje son : el dominio de demostraciones deteoremas simples en los que se pone en juego la comp Consulte el resumen completo en el documento. |
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