Un estudio de la evolución del pensamiento matemático : el ejemplo de la conceptualización del conjunto de los números reales y de la noción de completitud en la enseñanza universitaria
En esta tesis, enmarcada dentro del campo de Didáctica de la Matemática, se estudia laevolución en la conceptualización del conjunto de los números reales por parte de los estudiantes denivel universitario. Se toma como referencia las carreras de Licenciatura y Profesorado en Matemáticade la Univers...
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Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
2004
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En esta tesis, enmarcada dentro del campo de Didáctica de la Matemática, se estudia laevolución en la conceptualización del conjunto de los números reales por parte de los estudiantes denivel universitario. Se toma como referencia las carreras de Licenciatura y Profesorado en Matemáticade la Universidad de Buenos Aires. ¿Qué se quiere expresar con “el estudio de la evolución..."? Losalumnos establecen un primer contacto con los números reales temprano en su escolaridad. En unprimer momento los ven en las soluciones de problemas geométricos, como raíces cuadradas, comoraíces de polinomios, estudian sus desarrollos decimales, etcétera. Pero más adelante, al comenzar losestudios en el área del análisis matemático, cuando el conjunto de los números reales se vuelve eldominio natural de las funciones, ¿qué conocimientos tienen los alumnos acerca de las propiedades deese dominio? ¿cuáles son las propiedades que ellos reconocen de este conjunto, sobre las quedescansan los aprendizajes en análisis? Ha sido de interés focalizar este estudio en una propiedad delconjunto de los números reales central para el trabajo en esa área: la completitud. La tesis tiene seis capítulos. El primero es un estudio histórico-epistemológico del surgimientodel conjunto de los números reales. Varios investigadores en Didáctica de la Matemática han señaladola relevancia del análisis epistemológico para el análisis didáctico, sus potencialidades y sus alcances (Artigue, 1990, 1992, 1995), han analizado la relación entre epistemología, matemática y educación (Sierpinska & Lerman, 1996), han estudiado ciertos aportes específicos del conocimiento de la historiaa la práctica docente (Bkouche, 1997) y han alertado acerca de la utilización ingenua de la historia dela matemática en la enseñanza (Radford, 1997). El análisis hecho ha llevado a delinear unareconstrucción de la génesis histórica de la noción conjunto de los números reales, ligando problemasy preguntas de determinados períodos históricos con el estado de conocimientos y las herramientasdisponibles en esos momentos, y con las diferentes conceptualizaciones producidas. La manera en laque se ha jugado la correspondencia entre números y puntos de una recta en diferentes periodos de lahistoria (y más generalmente, como ha evolucionado la relación entre números y magnitudes), cómoera el trabajo de los matemáticos en temas de análisis antes de que la noción de completitud delsistema de los números reales fuera enunciada, qué condiciones hicieron necesaria la formalización deesta noción, cuáles fueron las distintas respuestas que se dieron a este problema y cómo se llega a lasformulaciones actuales, son las preguntas que guían este capítulo. Para aportar respuestas, se examinandiferentes momentos particularmente significativos de la historia matemática: el período euclidiano,el intermediario árabe y la Europa Medieval, el desarrollo del cálculo, los comienzos del siglo XIX yla aritmetización del análisis, el fin del mismo siglo que ve diferentes construcciones de un sistemanumérico y finalmente la axiomatización de R con los trabajos de Hilbert. En las conclusiones de estecapítulo se aborda el papel del método axiomático en matemática y en la enseñanza de lasmatemáticas, se hace una reflexión alrededor de la evolución del estatuto de una misma afirmaciónmatemática, se analiza la relación modelo matemático —objeto modelizado, que puede representarpara el trabajo matemático tanto un punto de apoyo como un obstáculo, y se analiza también laevolución de los argumentos que se consideran suficientes para validar el trabajo matemático. Coneste primer capítulo se ha buscado mostrar la complejidad de las relaciones que se han dado a lo largode la historia entre las nociones de continuidad y de completitud, y los motores principales de lasevoluciones, y dar argumentos que faciliten entender la posible existencia de varios tipos deequilibrios cognitivos y niveles de conceptualización acerca de estas nociones, cuidando no caer enuna visión ingenua de las relaciones entre ontogénesis y filogénesis. Este estudio también muestra quelos comienzos del cálculo y su desarrollo durante tres siglos se llevaron a cabo teniendo como soporteun dominio numérico cuyas propiedades no habían sido explicitadas. La explicitación de esaspropiedades supuso transitar una ruptura y una reconstrucción de la noción. La ruptura se produjo enla historia de la matemática como consecuencia de un cambio de racionalidad a partir del cual sereconoció que la base del trabajo matemático había sido empírica, y se deseó superar esa situación. Elproblema era entonces encontrar cómo expresar la propiedad de completitud. Dedekind encontró unamanera, procurando obtener para los números algo análogo a la continuidad de la recta. Para lo cualhubo de precisar —necesariamente como un axioma- en qué consistía dicha continuidad. Cantor por suparte, así como otros matemáticos de la época, expresó la completitud vía la convergencia desucesiones fundamentales, estableciendo además una correspondencia entre los números y los puntosde la recta y reconociendo el carácter axiomático de dicha correspondencia. Ese fue el sentido quetuvo, para los matemáticos del siglo XIX la construcción de un dominio numérico completo. A lolargo de la tesis se analiza el sentido que tiene para los alumnos y la organización institucionalactuales. El segundo capitulo es una puesta al día de las investigaciones didácticas hechas por otrosinvestigadores relacionadas con el tema, y el posicionamiento de la propia problemática. Los trabajoscomentados acerca del conjunto de los números reales tratan didácticamente cuestiones vinculadas a laexistencia de números irracionales, su desarrollo ilimitado y no periódico, su representación uno a unoen la recta numérica, su aparición en los cálculos de raíces, logaritmos, cálculos trigonométricos, etc. Estas cuestiones están ligadas al hecho de que con los racionales no alcanza para dar respuesta adiversos problemas que aparecen, aun tempranamente, en la escolaridad, y se requiere por lo tanto dela existencia de otros números. Otro nivel de problematización se pone de relevancia al estudiar laspropiedades de R cuando se lo ve como el dominio natural del análisis matemático. Éstas sedespliegan cuando se sale de lo estrictamente numérico y se trabaja con funciones, sucesiones, etc. y elinterés está puesto en fundamentar las afirmaciones y en caracterizar ciertos atributos que tiene Rcomo conjunto. Efectivamente, la completitud no es una propiedad que concierne a un número sino aun conjunto de números. Los trabajos analizados contemplan el primer nivel y no el segundo, que porotra parte es propio de la enseñanza a nivel superior. Más allá de los diferentes marcos teóricos ymetodológicos que han sido tomados como referencia en los trabajos, es posible reunir al menos dospuntos de consenso entre ellos. El primero es que en los alumnos de distintos niveles de escolaridadconviven concepciones contradictorias, en cuanto a la densidad, al significado de los desarrollosinfinitos, la existencia de números que verifican determinadas condiciones, la irracionalidad, laidecimalidad. Algunas de las investigaciones han mostrado que las mismas nociones funcionan bien enciertas preguntas y no en otras. El segundo es que la representación de los números en la recta, nocontribuye necesariamente a solucionar esas dificultades: muchas veces este objeto suma sus propiasdificultades, las investigaciones nos han mostrado que los alumnos conceptualizan de diferentesmaneras la recta numérica, por lo cual la referencia a sus atributos y propiedades no es un punto deapoyo seguro, y en algunos casos modifica completamente la problemática en juego. Los trabajosanalizados constituyen en cierto modo un mapa de los conocimientos didácticos previosexistentes aesta tesis alrededor de este tema, se han tomado como punto de partida para avanzar en lacaracterización de aquello que hace evolucionar las conceptualizaciones de los alumnos en relacióncon el segundo nivel de propiedades de R que se ha mencionado. El tercer capítulo consiste en el análisis de los aspectos matemáticos y cognitivos vinculados ala completitud de R. En el mismo se profundizan distintas vías matemáticas de entrada y de desarrollode esa noción, dando lugar a lo que ha sido llamado Panorama Matemático; y se separan ficticiamentelos aspectos cognitivos involucrados estructurándolos en seis ejes variables, con el objetivo demodelizar distintos estados de conceptualización de esta noción. Estos ejes vistos globalmente enconjunto con su estado inicial, han recibido el nombre de Panorama Cognitivo. Los mismos no sonexclusivos de este concepto, pueden pensarse para otros conceptos matemáticos, pero han podido serdelineados como producto del trabajo realizado sobre la completitud, especialmente del análisisepistemológico. El Panorama Cognitivo consta de seis ejes con un origen en común, como un estadoinicial o punto de partida en el cual la completitud es vista como evidente, con un apoyo fuerte en larepresentación gráfica o mental. A ese nivel la completitud no es identificada como un objetomatemático. Los seis ejes que admiten distintos estados se describen brevemente a continuación. Disponibilidad Técnica: este eje incluye los diferentes grados de dominio técnico sobre los elementosmatemáticos, a modo de ejemplo, distintos valores en este eje son : el dominio de demostraciones deteoremas simples en los que se pone en juego la comp Consulte el resumen completo en el documento. |
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tesis:tesis_n3718_Berge2023-10-02T19:52:14Z Un estudio de la evolución del pensamiento matemático : el ejemplo de la conceptualización del conjunto de los números reales y de la noción de completitud en la enseñanza universitaria A study about the evolution of the mathematical thought : example of the conceptualization of the real numbers set and completeness in university teaching Bergé, Analía Artigue, Michele ANALISIS EPISTEMOLOGICO ANALISIS INSTITUCIONAL COMPLETITUD DE IR DIDACTICA RAPPORT PERSONAL IR COMPLETENESS EPISTEMOLOGICAL ANALYSIS INSTITUTIONAL ANALYSIS DIDACTICS AND PERSONAL RAPPORT En esta tesis, enmarcada dentro del campo de Didáctica de la Matemática, se estudia laevolución en la conceptualización del conjunto de los números reales por parte de los estudiantes denivel universitario. Se toma como referencia las carreras de Licenciatura y Profesorado en Matemáticade la Universidad de Buenos Aires. ¿Qué se quiere expresar con “el estudio de la evolución..."? Losalumnos establecen un primer contacto con los números reales temprano en su escolaridad. En unprimer momento los ven en las soluciones de problemas geométricos, como raíces cuadradas, comoraíces de polinomios, estudian sus desarrollos decimales, etcétera. Pero más adelante, al comenzar losestudios en el área del análisis matemático, cuando el conjunto de los números reales se vuelve eldominio natural de las funciones, ¿qué conocimientos tienen los alumnos acerca de las propiedades deese dominio? ¿cuáles son las propiedades que ellos reconocen de este conjunto, sobre las quedescansan los aprendizajes en análisis? Ha sido de interés focalizar este estudio en una propiedad delconjunto de los números reales central para el trabajo en esa área: la completitud. La tesis tiene seis capítulos. El primero es un estudio histórico-epistemológico del surgimientodel conjunto de los números reales. Varios investigadores en Didáctica de la Matemática han señaladola relevancia del análisis epistemológico para el análisis didáctico, sus potencialidades y sus alcances (Artigue, 1990, 1992, 1995), han analizado la relación entre epistemología, matemática y educación (Sierpinska & Lerman, 1996), han estudiado ciertos aportes específicos del conocimiento de la historiaa la práctica docente (Bkouche, 1997) y han alertado acerca de la utilización ingenua de la historia dela matemática en la enseñanza (Radford, 1997). El análisis hecho ha llevado a delinear unareconstrucción de la génesis histórica de la noción conjunto de los números reales, ligando problemasy preguntas de determinados períodos históricos con el estado de conocimientos y las herramientasdisponibles en esos momentos, y con las diferentes conceptualizaciones producidas. La manera en laque se ha jugado la correspondencia entre números y puntos de una recta en diferentes periodos de lahistoria (y más generalmente, como ha evolucionado la relación entre números y magnitudes), cómoera el trabajo de los matemáticos en temas de análisis antes de que la noción de completitud delsistema de los números reales fuera enunciada, qué condiciones hicieron necesaria la formalización deesta noción, cuáles fueron las distintas respuestas que se dieron a este problema y cómo se llega a lasformulaciones actuales, son las preguntas que guían este capítulo. Para aportar respuestas, se examinandiferentes momentos particularmente significativos de la historia matemática: el período euclidiano,el intermediario árabe y la Europa Medieval, el desarrollo del cálculo, los comienzos del siglo XIX yla aritmetización del análisis, el fin del mismo siglo que ve diferentes construcciones de un sistemanumérico y finalmente la axiomatización de R con los trabajos de Hilbert. En las conclusiones de estecapítulo se aborda el papel del método axiomático en matemática y en la enseñanza de lasmatemáticas, se hace una reflexión alrededor de la evolución del estatuto de una misma afirmaciónmatemática, se analiza la relación modelo matemático —objeto modelizado, que puede representarpara el trabajo matemático tanto un punto de apoyo como un obstáculo, y se analiza también laevolución de los argumentos que se consideran suficientes para validar el trabajo matemático. Coneste primer capítulo se ha buscado mostrar la complejidad de las relaciones que se han dado a lo largode la historia entre las nociones de continuidad y de completitud, y los motores principales de lasevoluciones, y dar argumentos que faciliten entender la posible existencia de varios tipos deequilibrios cognitivos y niveles de conceptualización acerca de estas nociones, cuidando no caer enuna visión ingenua de las relaciones entre ontogénesis y filogénesis. Este estudio también muestra quelos comienzos del cálculo y su desarrollo durante tres siglos se llevaron a cabo teniendo como soporteun dominio numérico cuyas propiedades no habían sido explicitadas. La explicitación de esaspropiedades supuso transitar una ruptura y una reconstrucción de la noción. La ruptura se produjo enla historia de la matemática como consecuencia de un cambio de racionalidad a partir del cual sereconoció que la base del trabajo matemático había sido empírica, y se deseó superar esa situación. Elproblema era entonces encontrar cómo expresar la propiedad de completitud. Dedekind encontró unamanera, procurando obtener para los números algo análogo a la continuidad de la recta. Para lo cualhubo de precisar —necesariamente como un axioma- en qué consistía dicha continuidad. Cantor por suparte, así como otros matemáticos de la época, expresó la completitud vía la convergencia desucesiones fundamentales, estableciendo además una correspondencia entre los números y los puntosde la recta y reconociendo el carácter axiomático de dicha correspondencia. Ese fue el sentido quetuvo, para los matemáticos del siglo XIX la construcción de un dominio numérico completo. A lolargo de la tesis se analiza el sentido que tiene para los alumnos y la organización institucionalactuales. El segundo capitulo es una puesta al día de las investigaciones didácticas hechas por otrosinvestigadores relacionadas con el tema, y el posicionamiento de la propia problemática. Los trabajoscomentados acerca del conjunto de los números reales tratan didácticamente cuestiones vinculadas a laexistencia de números irracionales, su desarrollo ilimitado y no periódico, su representación uno a unoen la recta numérica, su aparición en los cálculos de raíces, logaritmos, cálculos trigonométricos, etc. Estas cuestiones están ligadas al hecho de que con los racionales no alcanza para dar respuesta adiversos problemas que aparecen, aun tempranamente, en la escolaridad, y se requiere por lo tanto dela existencia de otros números. Otro nivel de problematización se pone de relevancia al estudiar laspropiedades de R cuando se lo ve como el dominio natural del análisis matemático. Éstas sedespliegan cuando se sale de lo estrictamente numérico y se trabaja con funciones, sucesiones, etc. y elinterés está puesto en fundamentar las afirmaciones y en caracterizar ciertos atributos que tiene Rcomo conjunto. Efectivamente, la completitud no es una propiedad que concierne a un número sino aun conjunto de números. Los trabajos analizados contemplan el primer nivel y no el segundo, que porotra parte es propio de la enseñanza a nivel superior. Más allá de los diferentes marcos teóricos ymetodológicos que han sido tomados como referencia en los trabajos, es posible reunir al menos dospuntos de consenso entre ellos. El primero es que en los alumnos de distintos niveles de escolaridadconviven concepciones contradictorias, en cuanto a la densidad, al significado de los desarrollosinfinitos, la existencia de números que verifican determinadas condiciones, la irracionalidad, laidecimalidad. Algunas de las investigaciones han mostrado que las mismas nociones funcionan bien enciertas preguntas y no en otras. El segundo es que la representación de los números en la recta, nocontribuye necesariamente a solucionar esas dificultades: muchas veces este objeto suma sus propiasdificultades, las investigaciones nos han mostrado que los alumnos conceptualizan de diferentesmaneras la recta numérica, por lo cual la referencia a sus atributos y propiedades no es un punto deapoyo seguro, y en algunos casos modifica completamente la problemática en juego. Los trabajosanalizados constituyen en cierto modo un mapa de los conocimientos didácticos previosexistentes aesta tesis alrededor de este tema, se han tomado como punto de partida para avanzar en lacaracterización de aquello que hace evolucionar las conceptualizaciones de los alumnos en relacióncon el segundo nivel de propiedades de R que se ha mencionado. El tercer capítulo consiste en el análisis de los aspectos matemáticos y cognitivos vinculados ala completitud de R. En el mismo se profundizan distintas vías matemáticas de entrada y de desarrollode esa noción, dando lugar a lo que ha sido llamado Panorama Matemático; y se separan ficticiamentelos aspectos cognitivos involucrados estructurándolos en seis ejes variables, con el objetivo demodelizar distintos estados de conceptualización de esta noción. Estos ejes vistos globalmente enconjunto con su estado inicial, han recibido el nombre de Panorama Cognitivo. Los mismos no sonexclusivos de este concepto, pueden pensarse para otros conceptos matemáticos, pero han podido serdelineados como producto del trabajo realizado sobre la completitud, especialmente del análisisepistemológico. El Panorama Cognitivo consta de seis ejes con un origen en común, como un estadoinicial o punto de partida en el cual la completitud es vista como evidente, con un apoyo fuerte en larepresentación gráfica o mental. A ese nivel la completitud no es identificada como un objetomatemático. Los seis ejes que admiten distintos estados se describen brevemente a continuación. Disponibilidad Técnica: este eje incluye los diferentes grados de dominio técnico sobre los elementosmatemáticos, a modo de ejemplo, distintos valores en este eje son : el dominio de demostraciones deteoremas simples en los que se pone en juego la comp Consulte el resumen completo en el documento. In this thesis, framed within the field of Didactics of Mathematics, the evolution in theconceptualization of the real numbers set is studied in a group of students at a university level. Theuniversity courses of Licentiate and Professor in Mathematics of the University of Buenos Aires weretaken as reference. What do we mean by “study of evolution”....? Students establish a first contactwith real numbers early along their scholastic path. At the beginning, they come accross real numbersin the solutions to geometrical problems, as square roots, polinomial roots, by studying their decimaldevelopment, etc. Though further on, when studies in mathematical analysis start, when the realnumbers set turn into the natural domain of the functions, what knowledge do students have regardingthe properties of this domain? Which are the properties students recognize in this set on which analysislearning lies? It was interesting to focus this study within a property of real numbers set essential tocarry out analysis work: completeness. The thesis has six Chapters. The first one is a historic-epistemological study about theemergence of the real numbers set. Several researchers about Didactics of Mathematics have pointedout the relevance of epistemological analysis in the didactic analysis, its potentiality and scope (Artigue, 1990, 1992, 1995); they have analysed the relationship among epistemology, mathematicsand education (Sierpinska & Lerman, 1996); they have studied certain specific contributions to theknowledge of history of educational practice (Bkouche, 1997) and have warned about the naive use ofhistory of mathematics in teaching (Radford, 1997). The analysis performed allowed a delineation of areconstruction of the historical genesis about the notion of real numbers set linking problems andquestions of specific historical periods with the state of knowledge and available tools in those times,and to the different generated conceptualizations. The leading questions to this chapter are: in whichway the correspondence between numbers and points in a line was performed along different historicalperiods (and more generally, how the relationship between numbers and magnitudes has evolved);how the work of mathematicians in analysis was before the notion of completeness of the real numbersset was stated; which conditions made necessary the formalization of this notion; which were thedifferent answers given to this problem and how present formulations are reached. In order tocontribute with answers, different moments particularly significant in the history of mathematics havebeen examined, such as the Euclidian period, the intermediate Arab period and the Mediaeval European one, the development of calculus at the beginning of the XIXͭͪ century and thearithmetization of the analysis, the end of the same century that sees different constructions of anumerical system, and finally the R axiomatization in Hilbert’s works. In the conclusions to thischapter, the role that the axiomatic method has played in mathematics as well as in the teaching ofmathematics are broached; a reflection is made regarding the evolution of the statute of the samemathematical affirmation, the relationship between mathematical model-modelled object that mayrepresent a fulcrum as well as an obstacle are analysed as well as the evolution of the arguments thatare considered sufficient to validate the mathematical work. In this chapter we have attempted to showthe complexity of relationships arisen along history between the notions of continuity andcompleteness, and the main engines of its evolution, and also, to establish arguments that case theunderstading of the feasible existence of different types of cognitive balances and conceptualizationlevels regarding these notions, avoiding to fall in a naive view of the relationships betweenontogenesis and phylogenesis. Also, this study shows that the beginning of calculus and itsdevelopment along three centuries were carried out being supported by a numerical domain whichproperties had not been made explicit. The explanation of these properties assumed to pass through arupture and reconstruction of the notion. The rupture occurred in the history of mathematics as aconsequence of a change in rationality from which the basis of the mathematical work as empiricalwas recognized and the wish to overcome this situation thus arose. Then, the problem was to find howto express the property of completeness. Dedekind found a way to do so by trying to obtain fornumbers something analogous to the continuity of the line. To achieve this he had to specify —necessarily as an axiom- what was the meaning of this continuity. At his turn, Cantor as well othermathematicians of the time, stated completeness by means of the convergence of fundamentalsequences, likewise stating a correspondence between numbers and the points of the line andrecognizing the axiomatic character of this correspondence. This was the sense that the construction ofa complete numerical domain had for the mathematicians of the XIXͭͪ century. Along this thesis thesense that it has, at present, for students as well as for the institutional organization is analyzed. The second chapter updates the didactic researchs performed by other researchers related tothe subject, and the position of our own problematics. The works of reference about the real numbersset didactically deal with matters related to the existence of irrational numbers, their ilimited and nonperiodicdevelopment, their one-by-one representation along the numerical line, their appearance inroot calculation, logarithms, trigonometric calculus, etc. These matters are linked to the fact that therational numbers are not sufficient to give answers to the different problems that arise early still inscholastic learning and, the existence of other numbers is therefore required. Another level ofproblematization becomes relevant when studying R properties regarded as the natural domain ofmathematical analysis. These are displayed when one is outside the strictly numerical field and workswith functions, sequences, etc., and the interest lies on demonstrating the affirmations andcharacterizing certain attributes that R has as a set. Certainly, completeness is not a property that anumber but a set of numbers have. Analyzed works behold the first and not the second level, which,on the other hand, is specific of teaching at a higher level. Beyond the different theoretical andmethodological frames taken as a reference in the works, it is possible to gather at least two points ofconsensus between them. The first one is that the students at different scholastic level coexist withcontradictory conceptions regarding density, meaning of infinite development, existence of numbersthat verify certain conditions, irrationality, non-decimality. Some researches have shown that the samenotions work well in certain answers and not in others. The second one is that the representation ofnumbers on a line does not necessarily contribute to solve these difficulties: many times this objectadds its own difficulties, and research has shown that students conceptualize the numerical line indifferent ways, therefore the reference to its attributes and properties is not a safe support, and in somecases, it completely modifies the problematics into play. In a certain way, the analysed worksrepresent a map of didactical knowledge about this matter previous to this thesis. They were taken intoaccount as starting point to proceed to the characterization of those elements that make evolvestudents’ conceptualizations about the above mentioned second level of R’s properties. The third chapter consists on the analysis of the mathematical and cognitive characteristicslinked to R completeness. In it, the different mathematical input and development means of thisnotion are deepened, giving place to what has been named the Mathematical Panorama; and theinvolved cognitive characteristics are divided and restructured in six variable axes to model differentconceptualization states of this notion. Globally, these axes together with their initial state have beennamed as Cognitive Panorama. These axes are not exclusive of this concept, they can be applied toother mathematical concepts, though they were delineated as the result of the work performed aboutcompleteness, mainly from the epistemological analysis. The Cognitive Panorama has six axes with acommon origin, as an initial state or starting point where completeness is seen as evident, with astrong support in the graphic or mental representation. At this level, completeness is not identified as amathematical object. The six axes that allow different states are briefly described herein after. Technical Availability: this axis includes different degrees of technical domain about mathematicalelements, e.g., different values on this axis are: the domain of demonstration of simple theorems wherecompleteness is in play, several handling characterizations of the supremum, handling of differentways to characterize completeness and knowledge of its equivalence, handling of objects associated toit such as sequences, Cauchy sequences, nested intervals, Dedekind’s cuts, etc., completeness of moregeneral spaces. Instrumentality/Objectivation: this axis estimates the perception of completeness as atool that allows to define numbers under certain conditions as well as its recognition as a part of theobjects of the analysis. Necessity: it re Consulte el resumen completo en el documento. Fil: Bergé, Analía. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales 2004 info:eu-repo/semantics/doctoralThesis info:ar-repo/semantics/tesis doctoral info:eu-repo/semantics/publishedVersion application/pdf spa info:eu-repo/semantics/openAccess https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/ar https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n3718_Berge |