El fenómeno de tiempo de espera en corrientes de gravedad en fluídos y difusión no lineal
La presente investigación de Tesis trata sobre el fenómeno de tiempo deespera en corrientes de gravedad en fluidos y difusión no lineal. Muchos fenómenos se describen mediante la ecuación de difusión no linealunidimensional (EDNL):h1 = δx(hᵐδxh) (1)en donde los subíndices t y x indican derivadas par...
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| Otros Autores: | |
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| Lenguaje: | Español |
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Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
1998
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FLUIDOS CORRIENTES DIFUSION NO LINEAL TIEMPO DE ESPERA AUTOSEMEJANZA SOLUCIONES FLUIDS CURRENTS NON LINEAR DIFFUSION WAITING-TIME SELF SIMILARITY SOLUTIONS Vigo, Claudio Lionel Martín El fenómeno de tiempo de espera en corrientes de gravedad en fluídos y difusión no lineal |
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La presente investigación de Tesis trata sobre el fenómeno de tiempo deespera en corrientes de gravedad en fluidos y difusión no lineal. Muchos fenómenos se describen mediante la ecuación de difusión no linealunidimensional (EDNL):h1 = δx(hᵐδxh) (1)en donde los subíndices t y x indican derivadas parciales respecto del tiempo y delespacio, respectivamente. Entre ellos se pueden citar: (a) flujos en acuíferos no confinados en la aproximaciónde Dupuit-Forchheimer (Polubarinova-Kochina 1962, Eagleson 1970, Peletier l981,m=l), (b) flujos de gases en medios porosos (Muskat 1937, Gilding y Peletier l977a,l977b, Vázquez 1983, m=γ), (c) conducción térmica en plasmas (Zel’dovich y Raizer 1966, m=5/2) (d) conducción del calor por radiación en gases multiplemente ionizados (Zel’dovich y Raizer 1966, Pert 1977, m=4,5-5,5). (e) conducción del calor porradiación en gases completamente ionizados (Marshak 1958, Zel’dovich y Raizer 1966, Larsen y Pomraning 1980, m=l3/2), (f) corrientes viscogravitatorias (CVG, m=3). Las CVG son un tipo particular de corrientes de gravedad en líquidos, e interesan enlas ciencias naturales y por sus aplicaciones a la tecnología y al medio ambiente (Simpson, 1982, Huppeit, 1986). Son flujos que se derraman sobre una superficie planahorizontal y rígida en el régimen en que los esfuerzos viscosos balancean la gravedad (bajo número de Reynolds y efectos de capilaridad despreciables) descriptos por laaproximación de lubricación (Buckmaster 1977, Huppert 1982, Gratton y Minotti 1990). Por la facilidad con que se las puede estudiar en el laboratorio, son unaherramienta muy útil para el estudio de la difusión no lineal. Una característica de la difusión no lineal es la presencia de frentes que separandominios donde h>0 de otros en donde h=0 (recordar la velocidad finita depropagación de una onda térmica fuerte); otra característica es la existencia desoluciones con tiempo de espera (STE), cuyo frente queda inmóvil durante un lapsofinito tw, mientras ocurren cambios detrás de él (Aronson 1970, Kamin 1980, Knerr 1977, Lacey et al. 1982, Kath y Cohen 1982, Lacey 1983, Aronson et al. 1983, 1985, Vázquez 1984, Thomas et al. 1991, Gratton et al. 1992, Marino et al. 1995). Las soluciones autosemejantes de la ecuación (1) fueron estudiadas extensamente enel caso unidimensional, en el que dependen de una única variable ξ=x/tδ, donde xrepresenta a una coordenada cartesiana (simetría plana) o a una radial (simetría axial). Su interes radica en que se obtienen fácilmente y que representan el comportamientoasintótico intermedio de muchos problemas no autosemejantes (Barenblatt 1952, Barenblatt y Zel’dovich 1957, Pattle 1959, Pen 1977, Grundy 1979, etc.). También seconocen bien las CVG autosemejantes (Buckmaster, 1977, Huppen, 1982, Gratton y Minotti, 1990, Maxworhy 1982, 1983, Huppert 1982, etc.). Reseñas sobre las propiedades de la ecuación (1) y de las STE se encuentran en Gratton (1991a) y Gratton et al. (1992). Una reseña sobre la autosemejanza, susaplicaciones y las corrientes de gravedad en fluidos, incluyendo las CVG, puedeencontrarse en Gratton (1991b). En esta investigación de Tesis Doctoral se investigan STE para CVG planas concondiciones iniciales del tipo h c xp. El proceso comienza en t=—t(...); inicialmente el frenteestá en x=0 y hǂ0 para 0<x<xo, siendo ho su valor característico: el frente arranca en t=0 (h(xo—tw)ǂ0)), la condición de contorno en xo corresponde a una pared ideal). Lassoluciones se obtuvieron numéricamente con gran precisión, para lo cual se desarrollóun código ad hoc. El trabajo de investigación se dirigió a aclarar los siguientes puntos: (a) La relación entre condiciones iniciales y tiempo de espera y otras propiedades delas soluciones. No hay fórmulas teóricas para tw (salvo para un único caso: p=2/m), pero sí cotassuperiores e inferiores (Kath y Cohen 1982, Lacey et al. 1982, Vázquez 1984, Aronson et al. 1985). Con condiciones iniciales del tipo h c xp, Kath y Cohen (1982)mostraron que, para m<<l, hay un tiempo de espera no nulo si p≥2/m, y que sip>2/m aparece un corner layer en la solución (un CL, es un pequeño intervalo Δx enel que hx varía fuertemente). Vázquez (1984) extendió este resultado para todo m>0. (b) La asintótica de las STE cerca del frente y para tiempos próximos al momentodel arranque (ǀxǀ<<xo, ǀtǀ<<tw ǀhǀ<<ho). En ese dominio ninguno de los parámetros característicos de las condiciones inicialespuede intervenir en la solución, por lo cual se espera que sea autosemejante de II Especie (Barenblatt y Zel’dovich 1972, Barenblatt 1979, Aronson y Vázquez 1994). Se verifica esta conjetura y se encuentra la relación δ=δ(p). Previamente al estudio numérico se investigan las soluciones autosemejantesrelevantes, que se agrupan en dos familias de acuerdo con δ (Gratton y Vigo l994a): lassoluciones LOT (Lacey et al. 1982) y las soluciones A. Las soluciones LOT existenpara todo δ>l y son de tres clases: si l<δ<l3/l0 (clase L) presentan una sucesióninfinita de CL cuyo punto de acumulación es el frente; si δ>l3/l0 (clases E y N) no hay CL. La nomenclatura proviene del comportamiento de la singularidad en el plano defase que les da origen (el ciclo límite L o el punto B, quien de acuerdo al valor de δ, esun punto Espiral o Nodo). Las soluciones A tienen δ≤1, y representan la evolución delcorner layer fuerte que está llegando al frente; el caso δ=1 es la solución de onda viajera (0V, ver Gratton y Minotti 1990). Las soluciones numéricas muestran que si p<2/3 el frente arranca de inmediato y sip>2/3 se obtienen soluciones con tiempo de espera con un CL móvil, de acuerdo con lateoría. El CL se refuerza (Δx se reduce y aumenta la variación de hx) mientras avanzahacia el frente que espera, y cuando lo alcanza, éste se pone en movimiento. Se estudiaen detalle el movimiento del CL y del frente y otras propiedades de las soluciones. Sedetermina tw(p) y se compara con las cotas teóricas, viendo que en muchos casos estasno son buenos estimadores de tw. La asintótica de las STE muestra un comportamiento sorprendente. En primer lugarsólo las soluciones clase L y la OV son relevantes. Tan sólo la parte de las soluciones Lque está detrás del primer CL de la sucesión representa la asintótica de las solucionesnuméricas, y lo hace en un dominio que está detrás del corner layer, y para un intervalode tiempo que excluye el entorno del arranque (se observa un solo CL, porque cerca delfrente la solución verdadera converge demasiado lentamente a la solución L). Encambio la asintótica en el entorno del CL y para tiempos próximos al arranque (eincluyéndolo) está descripta por la 0V (δ=1), de forma tal que el movimiento del CLempalma con continuidad con el del frente, luego del arranque. Los flujos viscogravitatorios son un privilegio para el investigador puesto queconstituyen un caso modelo altamente viable para su implementación experimental aescala de laboratorio; en ese sentido la verificación experimental de la teoría fuerealizada en colaboración con el grupo del Instituto de Física de Arroyo Seco (IFAS), dela Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires (UNCPBA), Tandil, dirigido por el Profesor R. Gratton, en donde se realizaron experimentos dederrames de aceites de siliconas con perfiles iniciales en forma de cuña (correspondientes a p=l), que presentan tiempo de espera (Marino et al. 1996). Se presenta una reseña de estos resultados experimentales y una comparación conalgunos de los resultados obtenidos en esta Tesis. |
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tesis:tesis_n3069_Vigo2023-10-02T19:44:22Z El fenómeno de tiempo de espera en corrientes de gravedad en fluídos y difusión no lineal The waiting-time phenomena of gravity currents in fluids and non linear diffusion Vigo, Claudio Lionel Martín Gratton, Julio FLUIDOS CORRIENTES DIFUSION NO LINEAL TIEMPO DE ESPERA AUTOSEMEJANZA SOLUCIONES FLUIDS CURRENTS NON LINEAR DIFFUSION WAITING-TIME SELF SIMILARITY SOLUTIONS La presente investigación de Tesis trata sobre el fenómeno de tiempo deespera en corrientes de gravedad en fluidos y difusión no lineal. Muchos fenómenos se describen mediante la ecuación de difusión no linealunidimensional (EDNL):h1 = δx(hᵐδxh) (1)en donde los subíndices t y x indican derivadas parciales respecto del tiempo y delespacio, respectivamente. Entre ellos se pueden citar: (a) flujos en acuíferos no confinados en la aproximaciónde Dupuit-Forchheimer (Polubarinova-Kochina 1962, Eagleson 1970, Peletier l981,m=l), (b) flujos de gases en medios porosos (Muskat 1937, Gilding y Peletier l977a,l977b, Vázquez 1983, m=γ), (c) conducción térmica en plasmas (Zel’dovich y Raizer 1966, m=5/2) (d) conducción del calor por radiación en gases multiplemente ionizados (Zel’dovich y Raizer 1966, Pert 1977, m=4,5-5,5). (e) conducción del calor porradiación en gases completamente ionizados (Marshak 1958, Zel’dovich y Raizer 1966, Larsen y Pomraning 1980, m=l3/2), (f) corrientes viscogravitatorias (CVG, m=3). Las CVG son un tipo particular de corrientes de gravedad en líquidos, e interesan enlas ciencias naturales y por sus aplicaciones a la tecnología y al medio ambiente (Simpson, 1982, Huppeit, 1986). Son flujos que se derraman sobre una superficie planahorizontal y rígida en el régimen en que los esfuerzos viscosos balancean la gravedad (bajo número de Reynolds y efectos de capilaridad despreciables) descriptos por laaproximación de lubricación (Buckmaster 1977, Huppert 1982, Gratton y Minotti 1990). Por la facilidad con que se las puede estudiar en el laboratorio, son unaherramienta muy útil para el estudio de la difusión no lineal. Una característica de la difusión no lineal es la presencia de frentes que separandominios donde h>0 de otros en donde h=0 (recordar la velocidad finita depropagación de una onda térmica fuerte); otra característica es la existencia desoluciones con tiempo de espera (STE), cuyo frente queda inmóvil durante un lapsofinito tw, mientras ocurren cambios detrás de él (Aronson 1970, Kamin 1980, Knerr 1977, Lacey et al. 1982, Kath y Cohen 1982, Lacey 1983, Aronson et al. 1983, 1985, Vázquez 1984, Thomas et al. 1991, Gratton et al. 1992, Marino et al. 1995). Las soluciones autosemejantes de la ecuación (1) fueron estudiadas extensamente enel caso unidimensional, en el que dependen de una única variable ξ=x/tδ, donde xrepresenta a una coordenada cartesiana (simetría plana) o a una radial (simetría axial). Su interes radica en que se obtienen fácilmente y que representan el comportamientoasintótico intermedio de muchos problemas no autosemejantes (Barenblatt 1952, Barenblatt y Zel’dovich 1957, Pattle 1959, Pen 1977, Grundy 1979, etc.). También seconocen bien las CVG autosemejantes (Buckmaster, 1977, Huppen, 1982, Gratton y Minotti, 1990, Maxworhy 1982, 1983, Huppert 1982, etc.). Reseñas sobre las propiedades de la ecuación (1) y de las STE se encuentran en Gratton (1991a) y Gratton et al. (1992). Una reseña sobre la autosemejanza, susaplicaciones y las corrientes de gravedad en fluidos, incluyendo las CVG, puedeencontrarse en Gratton (1991b). En esta investigación de Tesis Doctoral se investigan STE para CVG planas concondiciones iniciales del tipo h c xp. El proceso comienza en t=—t(...); inicialmente el frenteestá en x=0 y hǂ0 para 0<x<xo, siendo ho su valor característico: el frente arranca en t=0 (h(xo—tw)ǂ0)), la condición de contorno en xo corresponde a una pared ideal). Lassoluciones se obtuvieron numéricamente con gran precisión, para lo cual se desarrollóun código ad hoc. El trabajo de investigación se dirigió a aclarar los siguientes puntos: (a) La relación entre condiciones iniciales y tiempo de espera y otras propiedades delas soluciones. No hay fórmulas teóricas para tw (salvo para un único caso: p=2/m), pero sí cotassuperiores e inferiores (Kath y Cohen 1982, Lacey et al. 1982, Vázquez 1984, Aronson et al. 1985). Con condiciones iniciales del tipo h c xp, Kath y Cohen (1982)mostraron que, para m<<l, hay un tiempo de espera no nulo si p≥2/m, y que sip>2/m aparece un corner layer en la solución (un CL, es un pequeño intervalo Δx enel que hx varía fuertemente). Vázquez (1984) extendió este resultado para todo m>0. (b) La asintótica de las STE cerca del frente y para tiempos próximos al momentodel arranque (ǀxǀ<<xo, ǀtǀ<<tw ǀhǀ<<ho). En ese dominio ninguno de los parámetros característicos de las condiciones inicialespuede intervenir en la solución, por lo cual se espera que sea autosemejante de II Especie (Barenblatt y Zel’dovich 1972, Barenblatt 1979, Aronson y Vázquez 1994). Se verifica esta conjetura y se encuentra la relación δ=δ(p). Previamente al estudio numérico se investigan las soluciones autosemejantesrelevantes, que se agrupan en dos familias de acuerdo con δ (Gratton y Vigo l994a): lassoluciones LOT (Lacey et al. 1982) y las soluciones A. Las soluciones LOT existenpara todo δ>l y son de tres clases: si l<δ<l3/l0 (clase L) presentan una sucesióninfinita de CL cuyo punto de acumulación es el frente; si δ>l3/l0 (clases E y N) no hay CL. La nomenclatura proviene del comportamiento de la singularidad en el plano defase que les da origen (el ciclo límite L o el punto B, quien de acuerdo al valor de δ, esun punto Espiral o Nodo). Las soluciones A tienen δ≤1, y representan la evolución delcorner layer fuerte que está llegando al frente; el caso δ=1 es la solución de onda viajera (0V, ver Gratton y Minotti 1990). Las soluciones numéricas muestran que si p<2/3 el frente arranca de inmediato y sip>2/3 se obtienen soluciones con tiempo de espera con un CL móvil, de acuerdo con lateoría. El CL se refuerza (Δx se reduce y aumenta la variación de hx) mientras avanzahacia el frente que espera, y cuando lo alcanza, éste se pone en movimiento. Se estudiaen detalle el movimiento del CL y del frente y otras propiedades de las soluciones. Sedetermina tw(p) y se compara con las cotas teóricas, viendo que en muchos casos estasno son buenos estimadores de tw. La asintótica de las STE muestra un comportamiento sorprendente. En primer lugarsólo las soluciones clase L y la OV son relevantes. Tan sólo la parte de las soluciones Lque está detrás del primer CL de la sucesión representa la asintótica de las solucionesnuméricas, y lo hace en un dominio que está detrás del corner layer, y para un intervalode tiempo que excluye el entorno del arranque (se observa un solo CL, porque cerca delfrente la solución verdadera converge demasiado lentamente a la solución L). Encambio la asintótica en el entorno del CL y para tiempos próximos al arranque (eincluyéndolo) está descripta por la 0V (δ=1), de forma tal que el movimiento del CLempalma con continuidad con el del frente, luego del arranque. Los flujos viscogravitatorios son un privilegio para el investigador puesto queconstituyen un caso modelo altamente viable para su implementación experimental aescala de laboratorio; en ese sentido la verificación experimental de la teoría fuerealizada en colaboración con el grupo del Instituto de Física de Arroyo Seco (IFAS), dela Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires (UNCPBA), Tandil, dirigido por el Profesor R. Gratton, en donde se realizaron experimentos dederrames de aceites de siliconas con perfiles iniciales en forma de cuña (correspondientes a p=l), que presentan tiempo de espera (Marino et al. 1996). Se presenta una reseña de estos resultados experimentales y una comparación conalgunos de los resultados obtenidos en esta Tesis. The present Thesis Investigation address with the waiting-time viscous gravitycurrents phenomena and non linear diffusion. A wide range of phenomena are described by the one-dimensional non linear diffusionequation (NLDE):h1 = δx(hᵐδxh) (l)where the t and x subscripts indicate partial time and spatial derivatives, respectively. Among them, we can mention: (a) unconfined groundwater flows, in the Dupuit Forchheimerapproximation (Polubarinova-Kochina 1962, Eagleson 1970, Peletier 1981, m=l), (b) gas flow through porous media (Muskat 1937 Gilding y Peletier l977a,l977b, Vázquez 1983, m=γ), (c) thermal conduction in plasmas (Zel’dovich y Raizer 1966, m=5/2) (d) thermal conduction by radiation in multiply ionized gas (Zel’dovich y Raizer 1966, Pert 1977, m=4,5-5,5), (e) thermal conduction by radiation in a fullyionized gas (Marshak 1958, Zel’dovich y Raizer 1966, Larsen y Pomraning 1980,m=l3/2), (f) viscous gravity currents (VGC, m=3). The VGC are a special case of viscous currents in liquids, and are of particularinterest in technology applications and natural and environmental sciences, (Simpson, 1982, Huppen, 1986). VGC refers to flows over a horizontal rigid plane surface in theregime where viscous forces balance gravity (low Reynolds number and capillaryeffects are negligibles), and are described by the lubrication approximation. (Buckmaster 1977, Huppert 1982, Gratton y Minotti 1990). They are a useful tool forthe study of non linear diffusion, because they are inexpensive and simple to set up inthe laboratory. A characteristic of the non linear diffusion is the presence of fronts that dividedomains where h>0 from others where h=0 (remember the finite propagation velocityof the strong thermal wave); another characteristic is the existence of waiting-timesolutions (WTS), which have a front that remains motionless during a finite time tw,while some changes occur behind it. (Aronson 1970, Kamin 1980, Knerr 1977, Lacey etal. 1982, Kath y Cohen 1982, Lacey 1983, Aronson et al. 1983, 1985, Vázquez 1984, Thomas et al. 1991, Gratton et al. 1992, Marino er al. 1995). Self similar solutions of equation (l) were studied extensively in the one dimensionalcase in which they depend on a single variable ξ=x/tδ, where x is a Cartesian coordinate (plane symmetry) or a radial coordinate (axial symmetry). They are interesting becausecan be easily constructed and represent the intermediate asymptotic behavior of a widerange of non self similar problems. (Barenblatt l952, Barenblatt y Zel’dovich 1957, Pattle 1959, Pert 1977, Grundy 1979, etc.). The self-similar VGC are well known (Buckmaster, 1977, Huppert, 1982, Gratton y Minotti, 1990, Maxworthy 1982, 1983, Huppert 1982, etc.). Reviews about the properties of equation (1) and WTS can be found in Gratton (1991a) and Gratton et al, (1992). Other reviews about self-similarity, its aplications,and the gravity currents in fluids, including VGC, can be found in Gratton (l99lb). In this PHD Thesis Research, we investigate WTS for plane VGC with initialconditions of the type h c xp. The process begins at t=—tw, initially the front is at x=0 yhǂ0 for 0<x<xo, where ho is a characteristic value: the front starts to move at t=0 (h(xo-tw)ǂ0), the boundary condition at xo corresponds to an idealized wall). Thesolutions are obtained numerically with high precision using a scheme developed ad hoc. The work was focalized on the solution to the following points: (a) the relation between initial conditions and waiting-time and other properties ofthe solutions. There are no analytical formulae to determine tw (there is a only case, p=2/m), buthigher and lower bounds are available (Kath y Cohen 1982, Lacey et al. 1982, Vázquez 1984, Aronson et al. 1985). For initial conditions of the type h c xP. Kath y Cohen (1982) proved that, for m<<l, there exists a non vanishing waiting time ifp≥2/m, and if p>2/m, a corner layer (CL) developed in the solution (a CL, is a smallinterval Δx where hx suffers strong variations). Vazquez (1984) extended this resultfor all m>0. (b) The asymptotic regime of WTS near the front and close to the startup time (ǀxǀ<<xo, ǀtǀ<<tw ǀhǀ<<ho). In this domain, no characteristic parameters of the initial conditions can enter thesolution. It is for this reason that we expect the solution to be self-similar of the Second Kind (Barenblatt y Zel’dovich 1972, Barenblatt 1979, Aronson y Vázquez 1994). We verify this conjecture and found the δ=δ(p) relation. Prior to the numerical study we investigate the relevant WTS, that can be grouped intwo families, according to the value of δ (Gratton y Vigo l994a): the LOT solutions (Lacey et al. 1982) and the A solutions. The LOT solutions exist for all δ>l and are ofthree classes: when 1<δ<l3/10 (L class), they present an infinite series of CL with anaccumulation point in the front; if δ>l3/10 (clases E y N) there is no CL at all. Thenomenclature comes from the behavior of the singularity in the phase plane, a limitcycle L or a spiral or nodal (according to the value of δ ) point B. The A solutions haveδ≤1, and represent the evolution of a strong corner layer that is arriving to the front; theδ=1 case corresponds to the travelling wave (TW, see Gratton y Minotti, 1990). The numerical solutions show that if p<2/3 the front starts to move inmediately andthat if p>2/3, we obtain waiting-time solutions with a moving CL, according to thetheory. The CL reinforces (Δx decrease and hx increase) while it moves toward the front,and when it reaches it, the front it begins to move. We study in detail the movement ofthe CL and of the front and another properties of the solutions. We determine tw(p) andcompare it with the theoretical bounds, and observe that in many cases, these are not agood estimator of tw. The asymptotic regime of the WTS shows a surprising behavior. First, only the L and TW classes are relevant to the problem. Only the part of the L solutions that is behindthe first CL of the series represents the asymptotic of the numerical solutions, and itdoes so in a domain that is behind the CL, for a time interval that excludes the startup, (only one CL can be observed because near the front, the real solution converges tooslowly to the L solution). On the other hand, the asymptotic in a region around the CLfor times close to the startup time (including it), is described by the TW (δ=1), in such away that CL joins smoothly with the front after startup. The viscous gravity flows are a privilege for the researchers, because they constitutea model case of wide experimental implementation in the laboratory; in this sense, theexperimental check of the theory was made in conjunction with the group of the Instituto de Física de Arroyo Seco (IFAS), from the Universidad Nacional del Centro dela Provincia de Buenos Aires (UNCPBA), Tandil, directed by Professor R. Gratton. They make experiments on the spreading of silicone oils with initial wedge-like profiles (corresponding to p=l), that presents waiting-time behavior (Marino et al. 1996). We show a review of these experimental results and a comparation with some of theresults obtained in this Thesis. Fil: Vigo, Claudio Lionel Martín. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales 1998 info:eu-repo/semantics/doctoralThesis info:ar-repo/semantics/tesis doctoral info:eu-repo/semantics/publishedVersion application/pdf spa info:eu-repo/semantics/openAccess https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/ar https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n3069_Vigo |