Geometría de la variedad de polarizaciones

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La noción de polarización subordinada a una forma lineal dada de un álgebra de Lie L juega un papel central en la teoría de representaciones de álgebras y grupos de Lienilpotentes y resolubles. Esta noción fue introducida por A. A. Kirillov en su célebretrabajo Représentations unitaires de grupes de...

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Detalles Bibliográficos
Autor principal: Pavón, Martín Roberto
Otros Autores: Larotonda, Angel Rafael
Formato: Tesis doctoral publishedVersion
Lenguaje:Español
Publicado: Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales 1994
Acceso en línea:https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n2662_Pavon
Aporte de:
Biblioteca Digital - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales (UBA) de Universidad de Buenos Aires
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spelling tesis:tesis_n2662_Pavon2023-10-02T19:39:29Z Geometría de la variedad de polarizaciones Pavón, Martín Roberto Larotonda, Angel Rafael La noción de polarización subordinada a una forma lineal dada de un álgebra de Lie L juega un papel central en la teoría de representaciones de álgebras y grupos de Lienilpotentes y resolubles. Esta noción fue introducida por A. A. Kirillov en su célebretrabajo Représentations unitaires de grupes de Lie nilpotentes (Uspechi Mat. Naouk., 1962) donde establece el “método de de las órbitas” y señala que este método podría ser útilpara estudiar las representaciones de otra clase de grupos. Este estudio fue realizado entreotros por Auslander, Konstant, Pulianszky y Duflo, además de Kirillov. Otros problemasen teoría de representaciones de álgebras de Lie también fueron atacados con este método,en particular el estudio del centro del álgebra envolvente y su cuerpo de fracciones. Desde un punto de vista algebraico, la correspondencia entre polarizaciones y representacionesesta esbozada en la página 5 de este trabajo. Esencialmente, si P es unapolarización de una C-álgebra de Lie L subordinada a f, entonces podemos pensar a Ccomo un U(P) módulo y U(L) ou(p)C resulta un U(L)-módulo simple (aquí U(.) notaal álgebra envolvente). En el presente trabajo tomamos como punto de partida una observación de M. Vergne (cf. [B-R])que establece que el conjunto de polarizaciones subordinadas a una forma linealdada de un algebra de Lie L es una variedad algebraica; nos dedicaremos estudiar estavariedad en los casos en que L es un álgebra central (i.e. [L, [L,L]] = 0) y en algunosotros casos. Los resultados obtenidos establecen que la variedad algebraica en estos casoses “suave”. Su homología se determina asimismo en forma completa. El trabajo de tesis está dividido en cuatro capítulos. El capítulo 0 es de carácterintroductorio; en él se exponen los resultados básicos de geometria y topología que seránutilizados luego y se fija la notación. En el capítulo 1 comenzamos estudiando el caso en queel álgebra de Lie es el álgebra de Heissenberg Hn ; en el mismo se prueba que la variedadde polarizaciones es una variedad compleja de dimensión n(n + l)/ 2 y se introduce unafiltración conveniente que será usada en el capítulo siguiente para analizar la homología. Enel capítulo 2 se establece una fórmula para la homología de la variedad de polarizaciones delálgebra de Heissenberg presentada como subvariedad de una Grassmaniana. Finalmenteen el capítulo 3 se introduce la noción de algebra de tipo Heissenberg, que incluye a algunasalgebras resolubles, y se generalizan los resultados obtenidos para este caso. La teoría de representacionm unitarias de grupos de Lie queda bien clasificada mediantelas órbitas de polarizaciones en el caso nilpotentes y resolubles. Del presente trabajosigue que estas representaciones en los casos considerados pueden ser parametrizadas enforma “suave” por la variedad de polarizaciones. Fil: Pavón, Martín Roberto. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales 1994 info:eu-repo/semantics/doctoralThesis info:ar-repo/semantics/tesis doctoral info:eu-repo/semantics/publishedVersion application/pdf spa info:eu-repo/semantics/openAccess https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/ar https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n2662_Pavon
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