Modelos de cuantización en variedades
El estudio de la mecánica cuántica en espacios de configuración no triviales dista mucho de estar agotado y constituye un problema de amplio interés actualmente. Por ejemplo, no existe acuerdo sobre cuál es la ecuación de Schrödinger adecuada que contemple la dependencia con respecto a la curvatur...
Guardado en:
| Autor principal: | |
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| Otros Autores: | |
| Formato: | tesis doctoral |
| Lenguaje: | Español |
| Publicado: |
2016
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| Acceso en línea: | http://repositoriodigital.uns.edu.ar/handle/123456789/2720 |
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Matemáticas Geometría diferencial Cuantización Integrales de Feynman Capobianco, Guillermo Modelos de cuantización en variedades |
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Matemáticas Geometría diferencial Cuantización Integrales de Feynman |
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El estudio de la mecánica cuántica en espacios de configuración no triviales dista mucho de estar agotado y constituye un problema de amplio interés actualmente.
Por ejemplo, no existe acuerdo sobre cuál es la ecuación de Schrödinger adecuada
que contemple la dependencia con respecto a la curvatura espacial de la variedad, es
decir el equivalente a una ecuación de Schrödinger para casos de curvatura distinta
de cero, la cual en el límite reproduzca la cuántica usual.
En esta tesis se estudian métodos de cuantización inspirados en las integrales
de Feynman para espacios de configuración que generalizan el euclidiano. En el
caso de grupos de Lie con una métrica bi-invariante, se construye un propagador
infinitesimal por medio de la integración en el álgebra de Lie del grupo vía el mapa
exponencial. Se obtiene una ecuación de Schrödinger modificada que incluye un
potencial correspondiente a la curvatura escalar de la variedad.
También se estudian métodos de cuantización holomorfa como el desarrollado por
B. C. Hall [57, 59, 61, 62], se los relaciona con la transformada de Segal-Bargmann
y se los conecta con integrales de Feynman, lo cual nos permite obtener resultados
originales. Se define un propagador infinitesimal que genera la evolución cuántica.
La medida de integración usada surge de la solución fundamental de la ecuación del
calor en la complexificación de la variedad.
En el caso de variedades riemannianas conexas orientables de curvatura cero
(euclidean space form) se muestra que existe un isomorfismo natural entre el espacio
de Hilbert de funciones de cuadrado integrable en el espacio de configuración y
el espacio de funciones holomorfas de cuadrado integrable en el espacio fase. Los
productos escalares son definidos con una medida dada por la solución fundamental
de la ecuación del calor en cada espacio.
Este espacio de funciones holomorfas en el espacio fase resulta ser un espacio
de Hilbert con núcleo reproductor (reproducing kernel Hilbert space). Haciendo uso
de la existencia de un núcleo reproductor se obtiene el isomorfismo mencionado y
una integral de Feynman que coincide con las expresiones conocidas para el caso
euclidiano, ver [27, 139].
En particular, las euclidean space forms de dimensión 3 orientables compactas
presentan especial interés en cosmología, dado que permiten modelar la parte espacial
de los llamados modelos de universo plano [34]. Ver el trabajo más reciente de J.
Levin et al., en donde se busca desarrollar un modelo cosmológico plausible usando
euclidean space forms orientables y compactas de dimensión 3 de acuerdo con los
resutados de observaciones del fondo de radiación cósmico [98, 99, 100, 97]. |
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Reartes, Walter Alberto |
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Reartes, Walter Alberto Capobianco, Guillermo |
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