Una contribución al estudio de álgebras de De Morgan modales 4-valuadas

En 1920, J. Lukasiewicz introdujo sus sistemas de logicas polivalentes como una tentativa de investigar las proposiciones modales y las nociones de posibilidad y necesidad íntimamente relacionadas con tales proposiciones. Los argumentos utilizados por Lukasiewicz están analizados y discutidos en [...

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Detalles Bibliográficos
Autor principal: Bianco, Estela A.
Otros Autores: Ziliani, Alicia N.
Formato: tesis de maestría
Lenguaje:Español
Publicado: 2010
Materias:
cálculos proporcionales
lógicas tetravalentes
retículos distributivos
modales con implicación
Acceso en línea:http://repositoriodigital.uns.edu.ar/handle/123456789/2051
Aporte de:
Repositorio Institucional Universidad Nacional del Sur (UNS) de Universidad Nacional del Sur
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description En 1920, J. Lukasiewicz introdujo sus sistemas de logicas polivalentes como una tentativa de investigar las proposiciones modales y las nociones de posibilidad y necesidad íntimamente relacionadas con tales proposiciones. Los argumentos utilizados por Lukasiewicz están analizados y discutidos en [44, 12]. Tambien hay un análisis histórico detallado del desarrollo de sus ideas en [51]. Lukasiewicz introdujo para cada número natural n 2, un cálculo proposicional n−valente en el cual pueden atribuirse a las proposiciones n valores distintos de verdad. Entre 1940 y 1941, Gr.C. Moisil inició el estudio de las estructuras algebraicas correspondientes a dichos calculos a las que denominó álgebras de Lukasiewicz n−valuadas. Estas algebras son retıculos distributivos con una operacion de negacion y ciertas operaciones unarias que expresan modalidades. En 1940, este autor introdujo las algebras de Lukasiewicz 3−valuadas y las 4−valuadas. La definición original dada por Moisil para las algebras de Lukasiewicz 3−valuadas fue simplificada por el en 1960, y presentada de manera diferente por diversos autores entre los que podemos citar [39, 11, 2]. Posteriormente en 1966, L. Monteiro ([42]) demostró que de los ocho axiomas indicados por A. Monteiro, siete son independientes. Para exhibir la independencia de uno de ellos consideró un ejemplo que motivó a A. Monteiro para definir una nueva variedad de algebras a la que denomino algebras tetravalentes modales. Cabe señalar que Monteiro conjeturó que las mismas darían origen a una lógica 4-valuada con importantes aplicaciones en Ciencias de la Computación J. Font y M. Rius en [22], entre otros resultados, estudiaron dos lógicas que son extensiones modales de la bien conocida lógica de Belnap 4-valuada las cuales tienen como modelo algebraico a las algebras tetravalentes modales. Lo que confirmo la conjetura de Monteiro. En esta tesis hallamos, entre otros resultados, un calculo proposicional estilo Hilbert del cual las algebras tetravalentes modales constituyen su contrapartida algebraica. Más precisamente, a este trabajo lo hemos organizado en tres capítulos. El Capítulo I consta de cinco secciones. Todos los resultados indicados en ellas son conocidos, pero los hemos incluído tanto para facilitar la lectura posterior, como para fijar las notaciones y las definiciones que utilizaremos en lo que sigue. La primera de ellas está referida al álgebra universal y la teoría de categorías. La segunda, contiene tópicos sobre cálculos proposicionales y en las secciones restantes se describen las motivaciones que nos llevaron a considerar el cálculo estudiado. En el Capítulo II, obtuvimos lo que denominamos, en homenaje al Dr. Antonio Monteiro, el cálculo proposicional de Monteiro 4−valuado. Para el cual, utilizando las tecnicas indicadas por H. Rasiowa en [45], demostramos que pertenece a la clase de los sistemas proposicionales implicacionales standard y que es consistente. Ademas, mostramos que en este cálculo se verifica el Teorema de Completitud. Algunos de los resultados obtenidos en este capítulo fueron presentados en el XII y XIV Latin American Symposium on Mathematical Logic que se llevó a cabo en Costa Rica y en Brasil en el 2004 y 2008 respectivamente. En el Capítulo III, con el objeto de obtener un modelo algebraico más adecuado del cálculo proposicional de Monteiro 4−valuado, introducimos una nueva variedad de álgebras que hemos denominado retículos distributivos modales con implicación. Posteriormente, mostramos que existe una equivalencia entre la categoría de estas álgebras y la de las álgebras tetravalentes modales con sus correspondientes homomorfismos. Este último resultado es fundamental para demostrar nuestra afirmación inicial ya que los retículos distributivos modales con implicación son efectivamente más adecuados que las álgebras tetravalentes modales ya que ellos tienen a la implicación!como una de sus operaciones binarias básicas. Finalmente, cabe mencionar que los temas investigados en este capítulo fueron presentados en la Reunión anual de la UMA en el 2006 y se encuentran publicados en [5].

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