Métodos numéricos para problemas no locales de evolución

Main Author: Mastroberti Bersetche, Francisco Vicente
Other Authors: Acosta Rodríguez, Gabriel
Format: Tesis Doctoral
Language: Castellano
Published: Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales 2019-03-06
Subjects:
Online Access: http://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n6618_MastrobertiBersetche
http://repositoriouba.sisbi.uba.ar/gsdl/cgi-bin/library.cgi?a=d&c=aextesis&d=tesis_n6618_MastrobertiBersetche_oai
Table of Contents:
  • El objetivo de este trabajo es estudiar aproximaciones numéricas para problemas de evolución de la forma C∂αtu + (-Δ)su = f in Ω *(0,T), donde (-Δ)s representa el operador Laplaciano fraccionario en su forma integral y C∂αtu(x,t) denota la derivada de Caputo. Para ser más precisos, (-Δ)su(x)= C(n,s) p.v. ∫ℝn &#91;(u(x)-u(y))/(|x-y|^n+2s)&#93; dy, y C∂αtu(x,T)= { &#91;1/r(k-α)&#93;∫t0&#91;1/(t-r)^α-k+1&#93;∂ku/∂tk(x,r) dr if k-1<α<k, k∈ℕ, ∂ku/∂tk(x,t) if α=k∈ℕ. Estudiamos existencia, unicidad y regularidad de las soluciones en el contexto lineal(es decir, f = f(x; t)). Los casos tratados incluyen contrapartes fraccionarias de los modelos de difusión estándar y de ondas. Elementos finitos lineales se utilizan para la variable espacial y técnicas de cuadratura de convolución son usadas para tratar el operador fraccionario en la variable temporal. Estimaciones del error, uniformes en los parámetros de discretización para valores de t lejos de cero, son proporcionadas. Estos resultados son extendidos al caso semilineal con f(u) = u-u^3, siendo este el término no lineal que aparece en las ecuaciones clásicas de Allen-Cahn, utilizadas para modelar la separación de fases para aleaciones binarias. Adicionalmente, el comportamiento asintótico de las soluciones para s→0 es estudiado en este contexto particular. Detalles de implementación, particularmente para el método de elementos finitos, en el cual se ven involucradas matrices de rigidez fraccionarias no esparsas y cuadraturas numéricas para núcleos singulares, son cuidadosamente expuestos.
  • The aim of this work is to study numerical approximations for evolution problems of the form C∂αtu + (-Δ)su = f in Ω *(0,T), where (-Δ)s stands for the fractional Laplacian operator in its integral form and C∂αtu(x,t)represents the Caputo derivative. To be more precise, (-Δ)su(x)= C(n,s) p.v. ∫ℝn &#91;(u(x)-u(y))/(|x-y|^n+2s)&#93; dy, and C∂αtu(x,T)= { &#91;1/r(k-α)&#93;∫t0&#91;1/(t-r)^α-k+1&#93;∂ku/∂tk(x,r) dr if k-1<α<k, k∈ℕ, ∂ku/∂tk(x,t) if α=k∈ℕ. We deal with existence, uniqueness and regularity of solutions in the linear context(i.e. f = f(x,t)). The cases under study include fractional counterparts of the standard diffusion and wave models. Linear finite elements are used for the spatial variable and convolution quadrature techniques for handling the time fractional operator. Error bounds, uniform in the discretization parameters for values of t away from zero, are given. These results are extended to the semi-linear case with f(u) = u-u^3 appearing in the classical Allen-Cahn equations modeling phase separation for binary alloys. Additionally, the asymptotic behaviour of the solutions for s→0 is studied in this particular context. Implementation details, particularly for the finite element method involving full fractional stiffness matrices and numerical quadratures for singular kernels, are carefully documented.
  • Fil:Mastroberti Bersetche, Francisco Vicente. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.